Hur använder man pythagorasatsen?

Medan variabeln c hänvisar till hypotenusen - den längsta sidan som alltid är motsatt rätt vinkel — I Pythagoras teorem hänvisar variablerna a och b till sidorna som möts i rät vinkel, medan variabeln c hänvisar till hypotenusen - den längsta sidan som alltid är motsatt rätt vinkel.

The Pythagorean Theorem beskriver längderna på sidorna av en rätt triangel på ett sätt som är så elegant och praktiskt att satsen fortfarande används i stor utsträckning idag. Satsen säger att för vilken rätt triangel som helst är summan av kvadraterna på de icke-hypotensidorna lika med kvadraten på hypotenusen. Med andra ord, för en höger triangel med vinkelräta sidor av längd a och b och hypotenus med längd c, a ² + b ² = c ². Den Pythagoras sats är en av de grundläggande pelarna i grundgeometri, som har otaliga praktiska tillämpningar - användning av den sats, till exempel, är det lätt att hitta avståndet mellan två punkter på en koordinatplan.

Metod 1 av 2: hitta sidorna till en rätt triangel

1
Se till att din triangel är en rätt triangel. The Pythagorean Theorem är endast tillämplig på rätt trianglar, så innan du fortsätter är det viktigt att se till att din triangel passar definitionen av en rätt triangel. Lyckligtvis finns det bara en kvalificerande faktor - för att vara en rätt triangel måste din triangel innehålla en vinkel på exakt 90 grader.
- Som en form av visuell stenografi markeras rät vinklar ofta med en liten fyrkant snarare än en rundad "kurva" för att identifiera dem som sådana. Leta efter detta speciella märke i ett av hörnen på din triangel.
2

Tilldela variablerna a, b och c till sidorna av din triangel. I Pythagoras teorem hänvisar variablerna a och b till sidorna som möts i rät vinkel, medan variabeln c hänvisar till hypotenusen - den längsta sidan som alltid är motsatt rätt vinkel. Så, till att börja med, tilldela de kortare sidorna av din triangel variablerna a och b (det spelar ingen roll vilken sida är märkt 'a' eller 'b') och tilldela hypotenus variabeln c.
3
Bestäm vilken eller vilka sidor av triangeln du vill lösa. Pythagoras sats kan matematiker för att hitta längden på någon en av en rätvinklig triangel sidor så länge de känner längderna av de två andra sidorna. Bestäm vilken av dina sidor som har en okänd längd - a, b och / eller c. Om längden på endast en av dina sidor är okänd är du redo att fortsätta.
- Låt oss till exempel säga att vi vet att vår hypotenus har en längd på 5 och en av de andra sidorna har en längd på 3, men vi är inte säkra på hur lång den tredje sidan är. I det här fallet vet vi att vi löser längden på den tredje sidan, och eftersom vi vet längderna på de andra två är vi redo att gå! Vi återkommer till detta exempelproblem i följande steg.
- Om längderna på två av dina sidor är okända måste du bestämma längden på en sida för att använda Pythagoras teorem. Grundläggande trigonometri-funktioner kan hjälpa dig här om du känner till en av de icke-rätta vinklarna i triangeln.
Hur hittar jag sidorna på en rätt triangel när jag bara har längden på hypotenusen?
4
Anslut dina två kända värden till ekvationen. Sätt in dina värden för längderna på sidorna av din triangel i ekvationen a ² + b ² = c ². Kom ihåg att a och b är sidorna utan hypotenus, medan c är hypotenusen.
- I vårt exempel vet vi längden på ena sidan och hypotenusen (3 & 5), så vi skulle skriva vår ekvation som 3² + b² = 5²
5
Beräkna rutorna. För att lösa din ekvation, börja med att ta kvadraten på var och en av dina kända sidor. Alternativt, om du tycker det är lättare, kan du lämna dina sidlängder i exponentform och sedan kvadrera dem senare.
- I vårt exempel skulle vi kvadrera 3 och 5 för att få 9 respektive 25. Vi kan skriva om vår ekvation som 9 + b² = 25.
6
Isolera din okända variabel på ena sidan av likhetstecknet. Om det behövs, använd grundläggande algebraoperationer för att få din okända variabel på ena sidan av likhetstecknet och dina två rutor på andra sidan om likhetstecknet. Om du löser hypotenusen kommer c redan att vara isolerad, så du behöver inte göra någonting för att isolera det.
- I vårt exempel är vår nuvarande ekvation 9 + b² = 25. För att isolera b², låt oss subtrahera 9 från båda sidor av ekvationen. Detta lämnar oss med b² = 16.
7
Ta kvadratroten på båda sidor av ekvationen. Nu ska du ha en variabel i kvadrat på ena sidan av ekvationen och ett nummer på den andra sidan. Ta helt enkelt kvadratroten på båda sidor för att hitta längden på din okända sida.
- I vårt exempel, b² = 16, tar vi kvadratroten på båda sidor b = 4. Vi kan alltså säga att längden på den okända sidan av vår triangel är 4.
8
Använd den pythagorasatsningen för att hitta sidorna i verkliga rätt trianglar. Anledningen till att Pythagoras teorem används så ofta idag är att den är tillämplig i otaliga praktiska situationer. Lär dig att känna igen rätt trianglar i verkliga livet - i alla situationer där två raka föremål eller linjer möts i rät vinkel och en tredje linje eller ett objekt sträcker sig diagonalt från rätt vinkel, kan du använda Pythagoras teorem för att hitta längden på en av sidorna, med tanke på längden på de andra två.
- Låt oss prova verkliga exempel som är lite svårare. En stege lutar sig mot en byggnad. Trappans botten är 5 meter från väggens botten. Stegen når 20 meter uppför byggnadens vägg. Hur lång är stegen?
  - "5 meter (16,4 fot) från botten av väggen" och "20 meter (65,6 fot) uppför väggen" ledtrådar oss i längderna på sidorna av vår triangel. Eftersom väggen och marken (förmodligen) möts i rät vinkel och stegen lutar sig diagonalt mot väggen kan vi tänka på detta arrangemang som en rätt triangel med sidorna längd a = 5 och b = 20. Stegens längd är hypotenusen, så c är vår okända. Låt oss använda Pythagoras teorem:
    - a² + b² = c²
    - (5) ² + (20) ² = c²
    - 25 + 400 = c²
    - 425 = c²
    - sqrt (425) = c
    - c = 20,6. Stegens ungefärliga längd är 20,6 meter (67,6 fot).

Hur hittar jag sidorna på en rätt triangel när jag bara har längden på den längsta sidan?

Metod 2 av 2: beräkning av avståndet mellan två punkter i ett xy-plan

1
Definiera två punkter i xy-planet. The Pythagorean Theorem kan enkelt användas för att beräkna det linjära avståndet mellan två punkter i XY- planet. Allt du behöver veta är x- och y-koordinaterna för två punkter. Vanligtvis skrivs dessa koordinater som ordnade par i formen (x, y).
- För att hitta avståndet mellan dessa två punkter kommer vi att behandla varje punkt som ett av de icke-rätthörniga vinklarna i en rätt triangel. Genom att göra detta är det lätt att hitta längden på a- och b-sidorna och sedan beräkna c, hypotenusen, som är avståndet mellan de två punkterna.
2

Plotta dina två punkter i en graf. I ett typiskt XY-plan, för varje punkt (x, y), ger x en koordinat på den horisontella axeln och y ger en koordinat på den vertikala axeln. Du kan hitta avståndet mellan de två punkterna utan att plotta dem i en graf, men genom att göra det får du en visuell referens som du kan använda för att säkerställa att ditt svar är vettigt.
3
Hitta längderna på de sidor som inte är i hypotenusen i din triangel. Använd dina två punkter som hörnen på triangeln intill hypotenusen och hitta längden på a- och b-sidorna av triangeln. Du kan göra detta visuellt i diagrammet eller med formlerna | x ₁ - x ₂ | för den horisontella sidan och | y ₁ - y ₂ | för den vertikala sidan, där (x ₁, y ₁) är din första punkt och (x ₂, y ₂) är din andra punkt.
- Låt oss säga att våra två punkter är (61) och (35). Sidolängden på den horisontella sidan av vår triangel är:
  - | x ₁ - x ₂ |
  - | 3 - 6 |
  - | -3 | = 3
- Längden på den vertikala sidan är:
  - | y ₁ - y ₂ |
  - | 1 - 5 |
  - | -4 | = 4
- Så vi kan säga att i vår högra triangel, sida a = 3 och sida b = 4.
4
Använd pythagorasatsningen för att lösa hypotenusen. Avståndet mellan dina två punkter är hypotenusen i triangeln vars två sidor du precis har definierat. Använd Pythagoras teorem som vanligt för att hitta hypotenusen, ställ in a som längden på din första sida och b som längden på den andra.
- I vårt exempel med hjälp av punkterna (35) och (61) är våra sidlängder 3 och 4, så vi skulle hitta hypotenusen enligt följande:
  - (3) ² + (4) ² = c²
    
    c = sqrt (9 + 16)
    
    c = sqrt (25)
    
    c = 5. Avståndet mellan (35) och (61) är 5.

Tips

sqrt (x) betyder " kvadratrot av x".
En annan kontroll - den längsta sidan kommer att vara motsatt den största vinkeln och den kortaste sidan kommer att vara motsatt den minsta vinkeln.
Hypotenusen är alltid:
- mittemot rätt vinkel (inte vidrör rätt vinkel)
- den längsta sidan av den högra triangeln
- ersatt med c i Pythagoras sats
För att använda Pythagoras teorem i en triangel med en 90-graders vinkel, märk de kortare sidorna av triangeln a och b, och den längre sidan motsatt den räta vinkeln ska märkas c.
Kom ihåg att alltid dubbelkolla ditt arbete. Om ett svar verkar felaktigt, gå tillbaka och prova det igen.
Det är bra att lära sig Pythagoras tripplar, eller tre siffror som representerar en rätt triangelns sidor som vanligtvis finns. 3, 4 och 5 är den vanligaste Pythagorean Triple. Om du känner till två sidlängder av en trippel behöver du inte spendera tid på att lösa den andra längden.
- Kom ihåg att hypotenusen alltid är den längsta sidan.
Om triangeln inte är en rätt triangel behöver du mer information än bara två sidlängder
Diagram är nyckeln till korrekt tilldelning av värden till a, b och c. Om du arbetar med ett berättelseproblem måste du först översätta det till ett diagram.
Om du bara har ett sidomått hjälper inte Pythagoras teorem. Försök använda trigonometri (sin, cos, tan) eller förhållandena 30-60-90 / 45-45-90 istället.
Om du har att göra med ett berättelseproblem kan du säkert anta saker som träd, stolpar, väggar,.. göra en rätt vinkel mot marken, såvida inte annat särskilt anges.

Läs också: Hur hittar man ytarean på cylindrar?

Hur använder man pythagorasatsen?

Steg

Metod 1 av 2: hitta sidorna till en rätt triangel

Metod 2 av 2: beräkning av avståndet mellan två punkter i ett xy-plan

Tips

Frågor och svar

Kommentarer (7)

Läs också: