Hur beräknar man tvärprodukten av två vektorer?
Ett av de enklaste sätten att beräkna en tvärprodukt är att ställa in enhetsvektorerna med de två vektorerna i en matris.
Korsprodukten är en typ av vektormultiplikation som endast definieras i tre och sju dimensioner som matar ut en annan vektor. Denna operation, som används i nästan uteslutande tre dimensioner, är användbar för applikationer inom fysik och teknik. I den här artikeln kommer vi att beräkna tvärprodukten av två tredimensionella vektorer definierade i kartesiska koordinater.
Metod 1 av 2: beräkning av tvärprodukten
- 1Tänk på två allmänna tredimensionella vektorer definierade i kartesiska koordinater.
- a = Ai + Bj + Ckb = Di + Ej + Fk {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {a} & = A \ mathbf {i} + B \ mathbf {j} + C \ mathbf {k} \ \\ mathbf {b} & = D \ mathbf {i} + E \ mathbf {j} + F \ mathbf {k} \ end {aligned}}}
- Här är i, j, k {\ displaystyle \ mathbf {i}, \ mathbf {j}, \ mathbf {k}} enhetsvektorer och A, B, C, D, E, F {\ displaystyle A, B, C, D, E, F} är konstanter.
- 2Ställ in matrisen. Ett av de enklaste sätten att beräkna en tvärprodukt är att ställa in enhetsvektorerna med de två vektorerna i en matris.
- a × b = | ijkABCDEF | {\ displaystyle \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} = {\ begin {vmatrix} \ mathbf {i} & \ mathbf {j} & \ mathbf {k} \\ A & B & C \ \ D & E & F \ end {vmatrix}}}
- 3Beräkna matrisens determinant. Nedan använder vi kofaktorutvidgning (expansion med minderåriga).
- a × b = (BF − EC) i− (AF − DC) j + (AE − DB) k {\ displaystyle \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} = (BF-EC) \ mathbf {i} - (AF-DC) \ mathbf {j} + (AE-DB) \ mathbf {k}}
- Denna vektor är ortogonal mot både en {\ displaystyle \ mathbf {a}} och b. {\ Displaystyle \ mathbf {b}.}
Metod 2 av 2: exempel
- 1Tänk på de två vektorerna nedan.
- u = 2i − j + 3kv = 5i + 7j − 4k {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {u} & = 2 \ mathbf {i} - \ mathbf {j} +3 \ mathbf {k} \\ \ mathbf {v} & = 5 \ mathbf {i} +7 \ mathbf {j} -4 \ mathbf {k} \ end {aligned}}}
- 2Ställ in matrisen.
- u × v = | ijk2−1357−4 | {\ displaystyle \ mathbf {u} \ times \ mathbf {v} = {\ begin {vmatrix} \ mathbf {i} & \ mathbf {j} & \ mathbf {k} \\ 2 & -1 & 3 \\ 5 & 7 & -4 \ end {vmatrix}}}
- 3Beräkna matrisens determinant.
- u × v = (4−21) i - (- 8−15) j + (14 + 5) k = −17i + 23j + 19k {\ displaystyle {\ börjar {justerad} \ mathbf {u} \ times \ mathbf { v} & = (4-21) \ mathbf {i} - (- 8-15) \ mathbf {j} + (14 + 5) \ mathbf {k} \\ & = - 17 \ mathbf {i} +23 \ mathbf {j} +19 \ mathbf {k} \ end {aligned}}}
I den här artikeln kommer vi att beräkna tvärprodukten av två tredimensionella vektorer definierade i kartesiska koordinater.
- Korsprodukten för en vektor med vilken som helst multipel av sig själv är 0. Detta visas lättare när man ställer in matrisen. Den andra och tredje raden är linjärt beroende, eftersom du kan skriva en som en multipel av den andra. Därefter är matrisens determinant och därför korsprodukten 0.
- Man kan visa att vektorn som produceras av en korsprodukt av två vektorer a × b {\ displaystyle \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}} är ortogonal mot både en {\ displaystyle \ mathbf {a}} och b. {\ displaystyle \ mathbf {b}.} Beräkna prickprodukterna för att göra det. Dessa produkter kallas trippelprodukter - eftersom operationen på utsidan är en prickprodukt är det de skalära tredubbla produkterna.
- a⋅ (a × b) b⋅ (a × b) {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {a} & \ cdot (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) \\\ mathbf { b} & \ cdot (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) \ end {align}}}
- Dessa trippelprodukter följer något som kallas cyklisk permutation - det vill säga om du byter vektorernas position utan att ordna om dem är uttrycken ekvivalenta. Sedan kan vi skriva om dem så att en vektor korsar sig själv.
- a⋅ (b × b) b⋅ (a × a) {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {a} & \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {b}) \\\ mathbf { b} & \ cdot (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {a}) \ end {align}}}
- Vi vet dock att korsprodukten för en vektor med sig själv är 0. Eftersom en punktprodukt av de två vektorerna också blir 0 är de ortogonala.
Läs också: Hur hittar man en cirkels centrum?
Frågor och svar
- Vad är avståndsvektoranalogen?Norm, ibland även kallad magnitude, generaliserar avståndet till vektorerna. Norm betecknas med vertikala staplar som absoluta värden. Till exempel | (3, -4) | = 5 och | (11,11) | = 2.
- Hur beräknar jag vektorn trippelprodukt?Med tanke på vektorerna u, v och w är den skalära tredubbla produkten u * (vXw). Så efter ordningsföljd, hitta först korsprodukten av v och w. Ställ in en 3X3 determinant med enhetens koordinatvektorer (i, j, k) i första raden, v i andra raden och w i tredje raden. Utvärdera determinanten (du får en tredimensionell vektor). Pricka sedan med u (för att få en skalär). Inre produkter är abeliska, så u * (vXw) = (vXw) * u. Intressant nog ger det absoluta värdet för TSP volymen av en parallellpipad med 3 kanter som ges av vektorerna u, v och w.
Relaterade artiklar
