Hur hittar man ytan för en likbent triangel?

Om de lika sidorna av en likbent triangel är 13 cm långa och ytan är 60 cm kvadratisk, hur hittar jag basen?

En jämn triangel är en triangel med två sidor av samma längd. Dessa två lika sidor går alltid i samma vinkel mot basen (den tredje sidan) och möts direkt ovanför basens mittpunkt. Du kan testa detta själv med en linjal och två lika långa pennor: om du försöker luta triangeln i en eller annan riktning kan du inte få pennans spetsar att mötas. Dessa speciella egenskaper hos likbent triangel gör att du kan beräkna ytan från bara ett par bitar av information.

Metod 1 av 2: hitta området från sidolängderna

1
Granska området för ett parallellogram. Kvadrater och rektanglar är parallellogram, liksom vilken fyrsidig form som helst med två uppsättningar parallella sidor. Alla parallellogram har en enkel areaformel: area är lika med bas multiplicerat med höjden, eller A = bh. Om du placerar parallellogrammet plant på en horisontell yta är basen längden på den sida den står på. Höjden (som du förväntar dig) är hur hög den är från marken: avståndet från basen till motsatt sida. Mät alltid höjden i en rätt (90 graders) vinkel mot basen.
- I kvadrater och rektanglar är höjden lika med längden på en vertikal sida, eftersom dessa sidor är i rät vinkel mot marken.
2

Jämför trianglar och parallellogram. Det finns ett enkelt förhållande mellan dessa två former. Skär valfritt parallellogram längs diagonalen och den delas i två lika stora trianglar. På samma sätt, om du har två identiska trianglar, kan du alltid tejpa ihop dem för att skapa ett parallellogram. Detta betyder att ytan i vilken triangel som helst kan skrivas som A = 0,5bh, exakt hälften av storleken på ett motsvarande parallellogram.
3
Hitta den likbeniga triangelns bas. Nu har du formeln, men vad betyder "bas" och "höjd" i en likbent triangel? Basen är den enkla delen: använd bara den tredje, ojämna sidan av likbenet.
- Om din likbeniga triangel till exempel har sidor på 5 centimeter, 5 cm och 6 cm, använd 6 cm som bas.
- Om din triangel har tre lika sidor (liksidig) kan du välja vilken som helst som bas. En liksidig triangel är en speciell typ av likbenade, men du kan hitta dess område på samma sätt.
4
Rita en linje mellan basen till motsatt toppunkt. Se till att linjen träffar basen i rät vinkel. Längden på denna linje är höjden på din triangel, så märk den h. När du har beräknat värdet på h kommer du att kunna hitta området.
- I en likartad triangel kommer denna linje alltid att träffa basen vid sin exakta mittpunkt.
Hur hittar jag området för en likbent triangel när jag får två sidor?
5
Titta på hälften av din likbent triangel. Lägg märke till att höjdlinjen delade din likbent triangel i två identiska högra trianglar. Titta på en av dem och identifiera de tre sidorna:
- En av kortsidorna är lika med halva basen: ${\ frac {b} {2}}$ .
- Den andra kortsidan är höjden, h.
- Hypotenusen i den högra triangeln är en av de två lika sidorna av likbenet. Låt oss kalla det s.
6
Ställ in pythagorasatsningen. Varje gång du känner till två sidor av en rätt triangel och vill hitta den tredje, kan du använda den pythagoriska satsen: (sida 1) ² + (sida 2) ² = (hypotenus) ² Ersätt variablerna vi använder för det här problemet att få (b2) 2 + h2 = s2 {\ displaystyle ({\ frac {b} {2}}) ^ {2} + h ^ {2} = s ^ {2}} $({\ frac {b} {2}}) ^ {2} + h ^ {2} = s ^ {2}$ .
- Du förmodligen lärt den Pythagoras sats som $A ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}$ . Att skriva det som "sidor" och "hypotenus" förhindrar förvirring med din triangelns variabler.
7
Lös i h. Kom ihåg att områdesformeln använder b och h, men du vet inte värdet på h än. Ordna om formeln för att lösa för h:
- $({\ frac {b} {2}}) ^ {2} + h ^ {2} = s ^ {2}$
  $H ^ {2} = s ^ {2} - ({\ frac {b} {2}}) ^ {2}$
  $H = {\ sqrt (} s ^ {2} - ({\ frac {b} {2}}) ^ {2})$ .
8
Anslut värdena för din triangel för att hitta h. Nu när du känner till den här formeln kan du använda den för vilken likbent triangel där du känner till sidorna. Anslut bara längden på basen för b och längden på en av de lika sidorna för s, beräkna sedan värdet på h.
- Till exempel har du en likbent triangel med sidor 5 cm, 5 cm och 6 cm. b = 6 och s = 5.
- Ersätt dessa i din formel:
  $H = {\ sqrt (} s ^ {2} - ({\ frac {b} {2}}) ^ {2})$
  $H = {\ sqrt (} 5 ^ {2} - ({\ frac {6} {2}}) ^ {2})$
  $H = {\ sqrt (} 25-3 ^ {2})$
  $H = {\ sqrt (} 25-9)$
  $H = {\ sqrt (} 16)$
  $H = 4$ cm.
9
Anslut basen och höjden till din områdesformel. Nu har du vad du behöver för att använda formeln från början av detta avsnitt: Area = 0,5bh. Anslut bara värdena du hittade för b och h till den här formeln och beräkna svaret. Kom ihåg att skriva ditt svar i kvadratiska enheter.
- För att fortsätta exemplet hade 5-5-6 triangeln en bas på 6 cm och en höjd på 4 cm.
- A = 0,5 bh
  A = 0,5 (6 cm) (4 cm)
  A = 12 cm².
10
Prova ett svårare exempel. De flesta likartade trianglar är svårare att arbeta med än det senaste exemplet. Höjden innehåller ofta en kvadratrot som inte förenklar till ett heltal. Om detta händer, lämna höjden som en kvadratrot i den enklaste formen. Här är ett exempel:
- Hur stor är en triangel med sidorna 8 cm, 8 cm och 4 cm?
- Låt den ojämna sidan, 4 cm, vara basen b.
- Höjden $H = {\ sqrt {8 ^ {2} - ({\ frac {4} {2}}) ^ {2}}}$
  $= {\ sqrt {64-4}}$
  $= {\ sqrt {60}}$
- Förenkla kvadratroten genom att hitta faktorer: $H = {\ sqrt {60}} = {\ sqrt {4 * 15}} = {\ sqrt {4}} {\ sqrt {15}} = 2 {\ sqrt {15}}.$
- Area $= {\ frac {1} {2}} bh$
  $= {\ frac {1} {2}} (4) (2 {\ sqrt {15}})$
  $= 4 {\ sqrt {15}}$
- Lämna det här svaret som skrivet, eller ange det i en miniräknare för att hitta en decimaluppskattning (cirka 15,49 kvadratcentimeter).

Hur hittar jag ytan på en likbent triangel om basen är 10 cm och höjden är 8 cm?

Metod 2 av 2: användning av trigonometri

1
Börja med en sida och en vinkel. Om du känner till trigonometri kan du hitta ytan på en likbent triangel även om du inte vet längden på en av dess sidor. Här är ett exempelproblem där du bara känner till följande:
- Längden s av de två lika sidorna är 10 cm.
- Vinkeln θ mellan de två lika sidorna är 120 grader.
2
Dela likbenet i två högra trianglar. Rita en linje ned från toppunkten mellan de två lika sidorna som träffar basen i rät vinkel. Du har nu två lika högra trianglar.
- Denna linje delar θ perfekt i hälften. Varje höger triangel har en vinkel på 0,5θ, eller i detta fall (0,5) (120) = 60 grader.
3
Använd trigonometri för att hitta värdet på h. Nu när du har en rätt triangel kan du använda de trigonometriska funktionerna sinus, cosinus och tangent. I exemplets problem känner du till hypotenusen och du vill hitta värdet på h, sidan intill den kända vinkeln. Använd det faktum att cosinus = intilliggande / hypotenus för att lösa för h:
- cos (θ / 2) = h / s
- cos (60°) = h / 10
- h = 10cos (60°)
4
Hitta värdet på den återstående sidan. Det finns en återstående okänd sida av den högra triangeln, som du kan kalla x. Lös för detta med definitionen sinus = motsatt / hypotenus:
- sin (θ / 2) = x / s
- sin (60°) = x / 10
- x = 10sin (60°)
5

Relatera x till basen av den likbeniga triangeln. Du kan nu "zooma ut" till den huvudsakliga likbent triangeln. Dess totala bas b är lika med 2 x, eftersom den delades in i två segment vardera med en längd på x.
6
Anslut dina värden för h och b till grundområdesformeln. Nu när du vet basen och höjden kan du lita på standardformeln A = 0,5bh:
- $A = {\ frac {1} {2}} bh$
  $= {\ frac {1} {2}} (2x) (10cos60)$
  $= (10sin60) (10cos60)$
  $= 100sin (60) cos (60)$
- Du kan ange detta i en räknare (inställd på grader), vilket ger dig ett svar på cirka 43,3 kvadratcentimeter. Alternativt kan du använda egenskaperna för trigonometri för att förenkla den till A = 50sin (120°).
Hur kan jag hitta sidan på en likbent triangel när endast arean och längden på lika sidor anges?
7
Förvandla detta till en universell formel. Nu när du vet hur detta löses kan du lita på den allmänna formeln utan att gå igenom hela processen varje gång. Här är vad du slutar med om du upprepar denna process utan att använda några specifika värden (och förenkla med egenskaperna för trigonometri):
- $A = {\ frac {1} {2}} s ^ {2} sin \ theta$
- s är längden på en av de två lika sidorna.
- θ är vinkeln mellan de två lika sidorna.

Tips

Om du har en jämn höger triangel (två lika sidor och en 90 graders vinkel) är det mycket lättare att hitta området. Om du använder en av kortsidorna som bas är den andra kortsidan höjden. Nu förenklar formeln A = 0,5 b * h till 0,5s ², där s är längden på en kortsida.
Kvadratrötter har två lösningar, en positiv och en negativ, men du kan ignorera den negativa i geometri. Du kan till exempel inte ha en triangel med "negativ höjd".
Vissa trigonometri-problem kan ge dig annan startinformation, som baslängd och en vinkel (och det faktum att triangeln är likbenad). Den grundläggande strategin är densamma: dela likbenta i rätt trianglar och lösa höjden med trigonometriska funktioner.

Läs också: Hur bestämmer man kvadratmeter?

Hur hittar man ytan för en likbent triangel?

Steg

Metod 1 av 2: hitta området från sidolängderna

Metod 2 av 2: användning av trigonometri

Tips

Frågor och svar

Läs också: