Hur man beräknar volymen på en fyrkantig pyramid?

Hur får jag baskantlängden på en fyrkantig pyramid med den lutande kanten och volymen?

En fyrkantig pyramid är ett tredimensionellt fast ämne som kännetecknas av en fyrkantig bas och sluttande triangulära sidor som möts vid en enda punkt ovanför basen. Om $S$ representerar längden på en av de kvadratiska bas: s sidor och $H$ representerar höjden av pyramiden (det vinkelräta avståndet från basen till den punkt), volymen av en fyrkantig pyramid kan beräknas med formeln $V = {\ frac {1} {3}} s ^ {2} h$ . Det spelar ingen roll om pyramiden är storleken på en pappersvikt eller större än den stora pyramiden i Giza - denna formel fungerar för alla fyrkantiga pyramider. Volymen kan också beräknas med hjälp av det som kallas pyramidens "lutande höjd".

Metod 1 av 3: hitta volym med basarea och höjd

1
Mät sidolängden på basen. Eftersom, per definition, fyrkantiga pyramider har baser som är perfekt fyrkantiga, bör alla sidor av basen vara lika långa. Således, för en fyrkantig pyramid behöver du bara hitta längden på en sida.
- Tänk på en pyramid vars bas är en kvadrat med sidlängder på $S = 5 {\ text {cm}}$ . Detta är det värde du kommer att använda för att hitta basområdet.
- Om basens sidor inte är lika långa har du en rektangulär pyramid snarare än en fyrkantig pyramid. Volymformeln för rektangulära pyramider liknar mycket formeln för fyrkantiga pyramider. Om $L$ representerar längden på den rektangulära pyramidens bas och $W$ representerar dess bredd, är pyramidens volym $V = {\ frac {1} {3}} h * l * w$ .
2
Beräkna basytan. Hitta volymen börjar med att hitta det tvådimensionella området på basen. Detta görs genom att multiplicera basens längd gånger dess bredd. Eftersom basen av en fyrkantig pyramid är en kvadrat, har dess sidor alla samma längder, så ytan på basen är lika med längden på en sida i kvadrat (gånger själv).
- I exemplet, eftersom sidlängderna på pyramidens bas är 5 cm, kan du hitta basens yta som:
  - ${\ text {area}} = s ^ {2} = (5 {\ text {cm}}) ^ {2} = 25 {\ text {cm}} ^ {2}$
- Kom ihåg att tvådimensionella områden uttrycks i kvadratenheter - kvadratcentimeter, kvadratmeter, kvadratkilometer och så vidare.
3
Multiplicera basområdet med pyramidens höjd. Därefter multiplicerar du basarean med pyramidens höjd. Som en påminnelse är höjden avståndet för linjesegmentet som sträcker sig från toppen av pyramiden till basplanet i vinkelrätt vinkel mot båda.
- Antag i exemplet att pyramiden har en höjd av 9 cm. I det här fallet multiplicerar du basområdet med detta värde enligt följande:
  - $25 {\ text {cm}} ^ {2} * 9 {\ text {cm}} = 225 {\ text {cm}} ^ {3}$
- Kom ihåg att volymerna uttrycks i kubik. I det här fallet, eftersom alla linjära mätningar är centimeter, är volymen i kubikcentimeter.
För att beräkna volymen på en fyrkantig pyramid, först hitta längden på en av sidorna av pyramidens bas.
4
Dela detta svar med 3. Slutligen, hitta volymen på pyramiden genom att dela värdet du just hittade genom att multiplicera basarean med höjden med 3. Detta ger dig ett slutligt svar som representerar volymen på den fyrkantiga pyramiden.
- I exemplet delar du 225 cm³ med 3 för att få ett svar på 75 cm³ för volymen.

Metod 2 av 3: hitta volym med hjälp av lutningshöjd

1
Mät pyramidens sneda höjd. Ibland får du inte veta pyramidens vinkelräta höjd. Istället kan du få höra - eller kanske behöva mäta - pyramidens sneda höjd. Med den lutande höjden kommer du att kunna använda den pythagoreiska satsen för att beräkna den vinkelräta höjden.
- En pyramides snedställda höjd är avståndet från dess topp till mittpunkten på en av bassidorna. Mät till mittpunkten på sidan och inte till ett av basens hörn. För det här exemplet antar du att du mäter lutningshöjden till 13 cm, och du får veta att sidlängden är 10 cm.
- Som en påminnelse kan Pythagoras teorem uttryckas som ekvationen $A ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}$ , där $A$ och $B$ är de vinkelräta benen i den högra triangeln och $C$ är hypotenusen.
2

Föreställ dig en rätt triangel. För att använda Pythagoras teorem behöver du en rätt triangel. Föreställ dig en rätt triangel som skär genom mitten av pyramiden och vinkelrätt mot pyramidens bas. Pyramidens lutande höjd, kallad $L$ , är hypotenusen i denna högra triangel. Basen på denna högra triangel är halva längden på $S$ , sidan av pyramidens fyrkantiga bas.
3
Tilldela värden variabler. The Pythagorean Theorem använder variablerna a, b och c, men det hjälper till att ersätta dem med variabler som har betydelse för ditt problem. Lutningshöjden l {\ displaystyle l} $L$ tar platsen för c {\ displaystyle c} $C$ i Pythagoras teorem. Benet i den högra triangeln, som är s2 {\ displaystyle {\ frac {s} {2}}} ${\ frac {s} {2}}$ , tar platsen för b. {\ Displaystyle b.} $B.$ Du kommer att lösa pyramidens höjd, h { \ displaystyle h} $H$ , som tar platsen för en {\ displaystyle a} $A$ i Pythagoras teorem.
- Denna ersättning kommer att se ut så här:
  - $A ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}$
  - $H ^ {2} + ({\ frac {s} {2}}) ^ {2} = l ^ {2}$
4
Använd den pythagoreiska satsen för att beräkna den vinkelräta höjden. Sätt in de uppmätta värdena på s = 10 {\ displaystyle s = 10} $S = 10$ och l = 13 {\ displaystyle l = 13} $L = 13$ . Fortsätt sedan med att lösa ekvationen:
- $H ^ {2} = l ^ {2} - ({\ frac {s} {2}}) ^ {2}$ ..... (originalekvation)
- $H = {\ sqrt {l ^ {2} - ({\ frac {s} {2}}) ^ {2}}}$ ..... (kvadratrot båda sidor)
- $H = {\ sqrt {13 ^ {2} - ({\ frac {10} {2}}) ^ {2}}}$ ..... (ersättningsvärden)
- $H = {\ sqrt {169-5 ^ {2}}}$ ..... ( förenkla bråk)
- $H = {\ sqrt {169-25}}$ ..... (förenkla kvadrat)
- $H = {\ sqrt {144}}$ ..... (subtrahera)
- $H = 12$ ..... (förenkla kvadratrot)
I en fyrkantig pyramid är den vinkelräta höjden, lutningshöjden och längden på basytans kant relaterade till Pythagoras sats.
5
Använd höjd och bas för att beräkna volymen. Efter att ha använt beräkningarna med Pythagoras teorem har du nu den information du behöver för att beräkna pyramidens volym som vanligt. Använd formeln V = 13s2h {\ displaystyle V = {\ frac {1} {3}} s ^ {2} h} $V = {\ frac {1} {3}} s ^ {2} h$ och lös, se till att märka ditt svar i kubik.
- Från beräkningarna är pyramidens höjd 12 cm. Använd denna och undersidan på 10 cm. för att beräkna pyramidens volym:
  - $V = {\ frac {1} {3}} s ^ {2} h$
  - $V = {\ frac {1} {3}} (10 ^ {2}) 12$
  - $V = {\ frac {1} {3}} (100) (12)$
  - $V = 400 {\ text {cm}} ^ {3}$

Metod 3 av 3: hitta volym med kanthöjd

1
Mät pyramidens kanthöjd. Kanthöjden är längden på pyramidens kant, mätt från toppen till ett av hörnen på pyramidens bas. Som tidigare använder du sedan Pythagoras teorem för att beräkna pyramidens vinkelräta höjd.
- För det här exemplet antar du att kanthöjden kan mätas till 11 cm och du får att den vinkelräta höjden är 5 cm.
2

Föreställ dig en rätt triangel. Som tidigare behöver du en rätt triangel för att använda Pythagoras teorem. I det här fallet är ditt okända värde dock basen för pyramiden. Du känner till den vinkelräta höjden och kanthöjden. Om du tänker dig att skära pyramiden diagonalt från ett hörn till motsatt hörn och öppna den, är den exponerade insidan en triangel. Triangelns höjd är pyramidens vinkelräta höjd. Den delar den exponerade triangeln i två symmetriska högra trianglar. Hypotenusen i endera höger triangel är pyramidens kanthöjd. Basen på endera högra triangeln är hälften av diagonalen av pyramidens bas.
3
Tilldela variabler. Använd den här imaginära rätta triangeln och tilldela värden till Pythagoras teorem. Du känner till den vinkelräta höjden, h, {\ displaystyle h,} $H,$ som är ett ben i Pythagoras teorem, en {\ displaystyle a} $A$ . Kanthöjden på pyramiden, l, {\ displaystyle l,} $L,$ är hypotenusen i denna imaginära högra triangel, så den tar platsen för c {\ displaystyle c} $C$ . Den okända diagonalen på basen av pyramiden är den återstående delen av den högra triangeln, b. {\ Displaystyle b.} $B.$ När du har gjort dessa byten kommer ekvationen att se ut så här:
- $A ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}$
- $H ^ {2} + b ^ {2} = l ^ {2}$
4
Beräkna diagonalen på den kvadratiska basen. Du måste ordna om ekvationen för att isolera variabeln b {\ displaystyle b} $B$ och sedan lösa för dess värde.
- $H ^ {2} + b ^ {2} = l ^ {2}$ .......... (reviderad ekvation)
- $B ^ {2} = l ^ {2} -h ^ {2}$ .......... (ersätt h² från båda sidor)
- $B = {\ sqrt {l ^ {2} -h ^ {2}}}$ .......... (kvadratrot på båda sidor)
- $B = {\ sqrt {11 ^ {2} -5 ^ {2}}}$ .......... ( infoga numeriska värden)
- $B = {\ sqrt {121-25}}$ .......... (förenkla rutor)
- $B = {\ sqrt {96}}$ .......... (subtrahera värden)
- $B = 9,80$ .......... ( förenkla kvadratrot)
- Fördubblar detta värde för att hitta diagonalen på pyramidens fyrkantiga bas. Således är diagonalen på pyramidens bas 9,8 * 2 = 19,6 cm.
Förutsatt att en fyrkantig bas är en pyramidhöjd tre gånger volymen dividerad med kvadraten på längden på en sida av basen (det vill säga tre gånger volymen dividerat med basarean).
5
Hitta sidan av basen från diagonalen. Pyramidens bas är en kvadrat. Diagonalen på varje kvadrat är lika med längden på en sida gånger kvadratroten på 2. Omvänt kan du hitta sidan på rutan från dess diagonal genom att dividera med kvadratroten på 2.
- För denna provpyramid har diagonalen beräknats vara 19,6 cm. Därför är sidan lika med:
  - $S = {\ frac {19,6} {{\ sqrt {2}}}} = {\ frac {19,6} {1,41}} = 13,90$
6
Använd sidan och höjden för att beräkna volymen. Återgå till den ursprungliga formeln för att beräkna volymen med hjälp av sido- och vinkelrät höjd.
- $V = {\ frac {1} {3}} s ^ {2} h$
- $V = {\ frac {1} {3}} 13,9 ^ {2} * 5$
- $V = {\ frac {1} {3}} 193,23 * 5$
- $V = 322,02 {\ text {cm}} ^ {3}$