Hur man beräknar en fyrkantig rot för hand?

För att beräkna en kvadratrot för hand, beräkna först svaret genom att hitta de 2 perfekta kvadratrötterna som talet är mellan.

Under dagarna före miniräknare var både studenter och professorer tvungna att beräkna kvadratrötter för hand. Flera olika metoder har utvecklats för att ta itu med denna skrämmande process, vissa ger en grov uppskattning, andra ger ett exakt värde. För att lära dig hur du hittar ett tal kvadratrot med endast enkla operationer, se steg 1 nedan för att komma igång.

Metod 1 av 2: Använd primfaktorisering

1
Dela ditt nummer i perfekta kvadratfaktorer. Denna metod använder ett tals faktorer för att hitta ett talets kvadratrot (beroende på numret kan detta vara ett exakt numeriskt svar eller en nära uppskattning). Ett tals faktorer är vilken uppsättning andra nummer som multipliceras tillsammans för att göra det. Du kan till exempel säga att faktorerna 8 är 2 och 4 eftersom 2 × 4 = 8. Perfekta kvadrater är å andra sidan heltal som är produkten av andra heltal. Till exempel är 25, 36 och 49 perfekta rutor eftersom de är 5², 6² och 7²respektive. Perfekta kvadratfaktorer är, som du kanske har gissat, faktorer som också är perfekta rutor. För att börja hitta en kvadratrot via primfaktorisering, försök först att minska ditt antal till dess perfekta kvadratfaktorer.
- Låt oss använda ett exempel. Vi vill hitta kvadratroten på 400 för hand. Till att börja med skulle vi dela upp antalet i perfekta kvadratfaktorer. Eftersom 400 är en multipel av 100 vet vi att den är jämnt delbar med 25 - en perfekt fyrkant. Snabb mental uppdelning låter oss veta att 25 går in i 400 16 gånger. 16 är också en perfekt fyrkant. De perfekta kvadratfaktorerna på 400 är alltså 25 och 16 eftersom 25 × 16 = 400.
- Vi skulle skriva detta som: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
2
Ta kvadratrötterna till dina perfekta kvadratfaktorer. Produktegenskapen för kvadratrötter anger att för ett visst tal a och b, Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). På grund av den här egenskapen kan vi nu ta kvadratrötterna till våra perfekta kvadratfaktorer och multiplicera dem tillsammans för att få vårt svar.
- I vårt exempel skulle vi ta kvadratrötterna 25 och 16. Se nedan:
  - Sqrt (25 × 16)
  - Sqrt (25) × Sqrt (16)
  - 5 × 4 = 20
3
Minska ditt svar till de enklaste termerna, om ditt nummer inte påverkar perfekt. I verkliga livet, oftare än inte, kommer siffrorna du behöver för att hitta kvadratrötter för att inte vara fina runda nummer med uppenbara perfekta kvadratfaktorer som 400. I dessa fall kanske det inte går att hitta det exakta svaret som ett heltal. Istället, genom att hitta perfekta kvadratfaktorer som du kan, kan du hitta svaret i termer av en mindre, enklare, lättare att hantera kvadratrot. För att göra detta, minska ditt antal till en kombination av perfekta kvadratfaktorer och icke-perfekta kvadratfaktorer och förenkla sedan.
- Låt oss använda kvadratroten på 147 som ett exempel. 147 är inte produkten av två perfekta rutor, så vi kan inte få ett exakt heltal som ovan. Det är dock produkten av ett perfekt kvadrat och ett annat nummer - 49 och 3. Vi kan använda denna information för att skriva vårt svar i de enklaste termerna enligt följande:
  - Sqrt (147)
  - = Sqrt (49 × 3)
  - = Kvadrat (49) × Kvadrat (3)
  - = 7 × sqrt (3)
4
Uppskatta om det behövs. Med din kvadratrot i enklaste termer är det vanligtvis ganska enkelt att få en grov uppskattning av ett numeriskt svar genom att gissa värdet på eventuella kvarvarande kvadratrötter och multiplicera genom. Ett sätt att styra dina uppskattningar är att hitta de perfekta rutorna på vardera sidan om siffran i kvadratroten. Du kommer att veta att decimalvärdet för numret i din kvadratrot är någonstans mellan dessa två siffror, så du kommer att kunna gissa mellan dem.
- Låt oss återgå till vårt exempel. Eftersom 2² = 4 och 1² = 1 vet vi att Sqrt (3) är mellan 1 och 2 - troligen närmare 2 än till 1. Vi kommer att uppskatta 1,7. 7 × 1,7 = 11,9 Om vi kontrollerar vårt arbete i en miniräknare kan vi se att vi är ganska nära det faktiska svaret på 12,13.
  - Detta fungerar också för större antal. Till exempel kan Sqrt (35) uppskattas vara mellan 5 och 6 (troligen mycket nära 6). 5² = 25 och 6² = 36. 35 är mellan 25 och 36, så dess kvadratrot måste vara mellan 5 och 6. Eftersom 35 bara är en från 36, kan vi säga att dess kvadratrot är bara lägre än 6. Kontroll med en miniräknare ger oss ett svar på cirka 5,92 - vi hade rätt.
En perfekt kvadratrot är vilken kvadratrot som helst som är ett heltal.
5
Minska ditt nummer till de lägsta vanliga faktorerna som ett första steg. Att hitta perfekta kvadratfaktorer är inte nödvändigt om du enkelt kan bestämma ett tals primfaktorer (faktorer som också är primtal). Skriv ditt nummer i termer av de lägsta vanliga faktorerna. Leta sedan efter matchande par av primtal bland dina faktorer. När du hittar två huvudfaktorer som matchar tar du bort båda dessa siffror från kvadratroten och placerar en av dessa siffror utanför kvadratroten.
- Som ett exempel, låt oss hitta kvadratroten på 45 med den här metoden. Vi vet att 45 = 9 × 5 och vi vet att 9 = 3 × 3. Således kan vi skriva vår kvadratrot i termer av dess faktorer så här: Sqrt (3 × 3 × 5). Ta bara bort 3-talet och lägg en 3 utanför kvadratroten för att få din kvadratrot i enklaste termer: (3) Sqrt (5). Härifrån är det enkelt att uppskatta.
- Som ett sista exempelproblem, låt oss försöka hitta kvadratroten på 88:
  - Sqrt (88)
  - = Sqrt (2 × 44)
  - = Sqrt (2 × 4 × 11)
  - = Sqrt (2 × 2 × 2 × 11). Vi har flera två i vår kvadratrot. Eftersom 2 är ett primtal kan vi ta bort ett par och sätta ett utanför kvadratroten.
  - = Vår kvadratrot är i enklaste termer (2) Sqrt (2 × 11) eller (2) Sqrt (2) Sqrt (11). Härifrån kan vi uppskatta Sqrt (2) och Sqrt (11) och hitta ett ungefärligt svar om vi vill.

Metod 2 av 2: hitta kvadratrötter manuellt

Med hjälp av en långdelningsalgoritm

1
Dela upp ditt siffrors siffror i par. Denna metod använder en process som liknar lång uppdelning för att hitta en exakt kvadratrot siffra för siffra. Även om det inte är nödvändigt, kanske du tycker att det är enklast att utföra den här processen om du visuellt organiserar din arbetsyta och ditt nummer i fungerande bitar. Rita först en vertikal linje som skiljer ditt arbetsområde i två sektioner och rita sedan en kortare horisontell linje nära toppen av den högra delen för att dela upp den högra delen i en liten övre sektion och en större nedre sektion. Därefter separerar du ditt siffrors siffror i par, med början från decimal. Till exempel, enligt denna regel blir 79520,789182,47897" 7 95 20 78 91 82. 47 89 70". Skriv ditt nummer högst upp till vänster.
- Som ett exempel, låt oss försöka beräkna kvadratroten på 780,14. Rita två linjer för att dela din arbetsyta enligt ovan och skriv "7 80. 14" högst upp till vänster. Det är OK att den vänstra delen är ett ensamt nummer snarare än ett par siffror. Du skriver ditt svar (kvadratroten på 780,14.) Uppe till höger.
2
Hitta det största heltalet n vars kvadrat är mindre än eller lika med numret längst till vänster (eller paret). Börja med den "vänstra delen" av ditt nummer, oavsett om det här är ett par eller ett enda nummer. Hitta den största perfekta kvadraten som är mindre än eller lika med den här biten, och ta sedan kvadratroten av denna perfekta kvadrat. Detta nummer är n. Skriv n i det övre högra utrymmet och skriv kvadraten på n i den nedre högra kvadranten.
- I vårt exempel är den "vänstra delen" numret 7. Eftersom vi vet att 2² = 4 ≤ 7 <3² = 9 kan vi säga att n = 2 eftersom det är det största heltalet vars kvadrat är mindre än eller lika med 7. Skriv 2 i den övre högra kvadranten. Detta är den första siffran i vårt svar. Skriv 4 (kvadraten på 2) i den nedre högra kvadranten. Detta nummer kommer att vara viktigt i nästa steg.
3
Subtrahera numret du just beräknat från paret längst till vänster. Som med lång uppdelning är nästa steg att subtrahera torget vi just hittade från den bit vi just analyserade. Skriv detta nummer under den första delen och subtrahera, skriv ditt svar nedan.
- I vårt exempel skulle vi skriva 4 under 7 och sedan subtrahera. Detta ger oss ett svar på 3.
4
Släpp ner nästa par. Flytta nästa "bit" i siffran vars kvadratrots du löser för ned bredvid det subtraherade värdet du just hittade. Därefter multiplicerar du numret i den övre högra kvadranten med två och skriver det i den nedre högra kvadranten. Bredvid numret du just skrev ned, avsätt utrymme för ett multiplikationsproblem som du kommer att göra i nästa steg genom att skriva '"_ × _ ="'.
- I vårt exempel är nästa par i vårt nummer "80". Skriv "80" bredvid de tre i den vänstra kvadranten. Därefter multiplicerar du antalet högst upp till höger med två. Detta tal är 2, så 2 × 2 = 4. Skriv "'4"' i den nedre högra kvadranten, följt av _ × _ =.
5
Fyll i tomma blanksteg i höger kvadrant. Du måste fylla varje tomt utrymme du just har skrivit i rätt kvadrant med samma heltal. Detta heltal måste vara det största heltalet som gör att resultatet av multiplikationsproblemet i den högra kvadranten kan vara lägre än eller lika med det aktuella numret till vänster.
- I vårt exempel, fylla i tomma blanksteg med 8, ger oss 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. Detta är större än 380. Därför är 8 för stor, men 7 kommer antagligen att fungera. Skriv 7 i tomma blanksteg och lös: 4 (7) × 7 = 329. 7 checkar ut eftersom 329 är mindre än 380. Skriv 7 i den övre högra kvadranten. Detta är den andra siffran i kvadratroten på 780,14.
6
Subtrahera numret du just beräknat från det aktuella numret till vänster. Fortsätt med den långa divisionskedjan för subtraktion. Ta resultatet av multiplikationsproblemet i den högra kvadranten och dra det från det aktuella numret till vänster, skriv ditt svar nedan.
- I vårt exempel skulle vi subtrahera 329 från 380, vilket ger oss 51.
För att börja hitta en kvadratrot via primfaktorisering, försök först att minska ditt antal till dess perfekta kvadratfaktorer.
7
Upprepa steg 4. Släpp nästa bit av numret du hittar kvadratroten av ner. När du når decimal i ditt nummer, skriv en decimal i ditt svar i den övre högra kvadranten. Multiplicera sedan antalet högst upp till höger med 2 och skriv det bredvid det tomma multiplikationsproblemet ("_ × _") som ovan.
- I vårt exempel, eftersom vi nu stöter på decimalen i 780,14, skriv en decimal efter vårt nuvarande svar uppe till höger. Släpp sedan nästa par (14) ner i vänster kvadrant. Två gånger siffran längst upp till höger (27) är 54, så skriv "54 _ × _ =" i den nedre högra kvadranten.
8
Upprepa steg 5 och 6. Hitta den största siffran som ska fyllas i blanksteg till höger som ger ett svar som är mindre än eller lika med det aktuella numret till vänster. Lös sedan problemet.
- I vårt exempel är 549 × 9 = 4941, vilket är lägre än eller lika med siffran till vänster (5114). 549 × 10 = 5490, vilket är för högt, så 9 är vårt svar. Skriv 9 som nästa siffra i den övre högra kvadranten och subtrahera resultatet av multiplikationen från siffran till vänster: 5114 minus 4941 är 173.
9

Fortsätt beräkna siffror. Släpp ett par nollor till vänster och upprepa steg 4, 5 och 6. För ökad noggrannhet, fortsätt med att upprepa denna process för att hitta hundradel, tusendelsplatser etc. i ditt svar. Fortsätt genom denna cykel tills du hittar svaret på önskad decimal.

Förstå processen

1

Betrakta det antal du beräknar kvadratroten av som området S för en kvadrat. Eftersom kvadratens yta är L ² där L är längden på en av dess sidor, försöker du därför beräkna längden L på sidan av kvadraten genom att försöka hitta kvadratroten på ditt nummer.
2

Ange bokstavsvariabler för varje siffra i ditt svar. Tilldela variabeln A som den första siffran i L (kvadratroten vi försöker beräkna). B kommer att vara den andra siffran, C den tredje och så vidare.
3

Ange bokstavsvariabler för varje "bit" av ditt startnummer. Tilldela variabeln S _a till det första paret i S (ditt startvärde), S _b det andra paret med siffror etc.
4

Förstå metodens koppling till lång division. Denna metod för att hitta en kvadratrot är i huvudsak ett problem med lång uppdelning som delar ditt startnummer med dess kvadratrot, vilket ger dess kvadratrot som svar. Precis som i ett långuppdelningsproblem, där du bara är intresserad av nästa siffra åt gången, här är du intresserad av de kommande två siffrorna åt gången (som motsvarar nästa siffra åt gången för kvadratroten).

Denna metod för att hitta en kvadratrot är i huvudsak ett problem med lång uppdelning som delar ditt startnummer med dess kvadratrot, vilket ger dess kvadratrot som svar.
5
Hitta det största talet vars kvadrat är mindre än eller lika med s _a. Den första siffran A i vårt svar är då det största heltalet där kvadraten inte överstiger S _a (vilket betyder A så att A² ≤ Sa <(A + 1) ²). I vårt exempel är S _a = 7 och 2² ≤ 7 <3², så A = 2.
- Observera att till exempel, om du vill dela 88962 med 7 via långdelning, skulle det första steget vara liknande: du skulle titta på den första siffran i 88962 (8) och du skulle vilja ha den största siffran som, när den multipliceras med 7, är lägre än eller lika med 8. I huvudsak hittar du d så att 7 × d ≤ 8 <7 × (d + 1). I detta fall skulle d vara lika med 1.
6
Visualisera torget vars område du börjar lösa. Ditt svar, kvadratroten på ditt startnummer, är L, som beskriver längden på en kvadrat med område S (ditt startnummer). Dina värden för A, B, C representerar siffrorna i värdet L. Ett annat sätt att säga detta är att, för ett tvåsiffrigt svar, 10A + B = L, medan för ett tresiffrigt svar, 100A + 10B + C = L och så vidare.
- I vårt exempel (10A + B) ² = L ² = S = 100A² + 2 × 10A × B + B ^. Kom ihåg att 10A + B representerar vårt svar L med B i enhetsposition och A i tiosposition. Till exempel, med A = 1 och B = 2, är 10A + B helt enkelt siffran 12. (10A + B) ² är arean för hela torget, medan 100a² är det största torget inuti, B² är arean av den minsta kvadraten och 10a × b är ytan för var och en av de två återstående rektanglarna. Genom att utföra denna långa, invecklade process hittar vi hela torget genom att lägga till kvadraten och rektanglarna i den.
7

Subtrahera a² från s _a. Släpp ett par (S _B) siffror från S. S _a S _B är nästan total yta på torget, som du bara dras den del av större interna torget från. Resten är dock lika med antalet N1, som vi fick i steg 4 (N1 = 380 i vårt exempel). N1 är lika med 2 × 10A × B + B² (arean för de två rektanglarna plus arean för den lilla kvadraten).
8

Leta efter n1 = 2 × 10a × b + b², även skrivet som n1 = (2 × 10a + B) × B. I vårt exempel känner du redan till N1 (380) och A (2), så du måste hitta B B kommer sannolikt inte att vara ett heltal, så du måste faktiskt hitta det största heltalet B så att (2 × 10A + B) × B ≤ N1. Så du har: N1 <(2 × 10A + (B + 1)) × (B + 1).)
9

Lösa. För att lösa denna ekvation, multiplicera A med 2, flytta den i positionen för tiotalet (vilket motsvarar att multiplicera med 10), placera B i positionen för enheterna och multiplicera det resulterande talet med B. Med andra ord, lös (2 × 10A + B) × B. Detta är exakt vad du gör när du skriver "N_ × _ =" (med N = 2 × A) i den nedre högra kvadranten i steg 4. I steg 5 hittar du den största heltal B som passar på understryket så att (2 × 10A + B) × B ≤ N1.
10

Subtrahera området (2 × 10a + B) × B från den totala ytan. Detta ger dig området S- (10A + B) ² som ännu inte redovisats (och som kommer att användas för att beräkna nästa siffror på ett liknande sätt).
11

För att beräkna nästa siffra C, upprepa processen. Släpp nästa par (S _c) från S för att få N2 till vänster och leta efter den största C så att du har (2 × 10 × (10A + B) + C) × C ≤ N2 (motsvarar att skriva två gånger tvåsiffrigt nummer "AB" följt av "_ × _ =". Leta efter den största siffran som passar i blanksteget som ger ett svar som är mindre än eller lika med N2, som tidigare.

Kvadratroten på 4 är 2 och kvadratroten på 9 är 3.

Tips

Denna metod fungerar för vilken bas som helst, inte bara i bas 10 (decimal).
I exemplet kan 1,73 anses vara en "återstod": 780,14 = 27,9² + 1,73.
Känn dig fri att beräkna hur som helst du är mer bekväm med. Vissa människor skriver resultatet ovanför startnumret.
En alternativ metod som använder fortsatta fraktioner kan följa denna formel: √z = √ (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x +...))). Till exempel, för att beräkna kvadratroten på 780,14 är heltalet vars kvadrat är närmast 780,14 28, så z = 780,14, x = 28 och y = -3,86. Att koppla in och bära uppskattningen till bara x + y / (2x) ger redan (i lägsta termer) 78203,5800 eller cirka 27,931 (1); nästa term, 437418856607 eller cirka 27,930986 (5). Varje term lägger till nästan tre decimaler av precision till föregående.
Om du flyttar decimaltecknet med ett steg på två siffror i ett tal (faktor 100), flyttas decimalpunkten med steg om en siffra i kvadratroten (faktor 10).

Varningar

Var noga med att separera siffrorna i par från decimal. Att separera 79520,789182,47897 som "79 52 07 89 18 2,4 78 97" ger ett värdelöst antal.

Kalkylator

Läs också: Hur balanserar man en centrifug?