Hur löser man en vektor i komponenter?

För en horisontell vektor är den vertikala komponenten noll, och för en vertikal vektor är den horisontella komponenten noll.

En vektor är en grafisk representation av någon fysisk kraft. Det kan representera rörelse, till exempel ett plan som reser i nordöstlig riktning vid 640 km / h. Det kan också representera en kraft, såsom en boll som rullar av ett bord och faller diagonalt nedåt på grund av tyngdkraften och dess initiala hastighet från bordet. Det är ofta användbart att kunna beräkna komponenterna i vilken vektor som helst. Det vill säga hur mycket kraft (eller hastighet eller vad som helst som din vektor mäter) appliceras i horisontell riktning och hur mycket som appliceras i vertikal riktning. Du kan göra detta grafiskt med en enkel geometri. För mer exakta beräkningar kan du använda trigonometri.

Metod 1 av 4: identifiera komponenter genom grafer

1
Välj en lämplig skala. För att rita vektorn och dess komponenter måste du bestämma en skala för din graf. Du måste välja en skala som är tillräckligt stor för att fungera bekvämt och exakt, men tillräckligt liten för att din vektor ska kunna ritas i skala.
- Antag till exempel att du börjar med en vektor som representerar en hastighet på 320 km / h i nordostlig riktning. Om du använder diagrampapper med fyra rutor per tum kan du välja att varje kvadrat representerar 32,2 km / h. Detta representerar en skala på 2,50 cm = 80 mph.
- Vektorens placering i förhållande till ursprunget är irrelevant, så det finns ingen anledning att rita en x-axel och y-axel. Du mäter bara själva vektorn, inte dess placering i två- eller tredimensionellt utrymme. Grafpappret är bara ett mätverktyg, så plats spelar ingen roll.
2
Rita vektorn i skala. Det är viktigt att du skisserar din vektor så exakt som möjligt. Du måste representera både rätt riktning och längd för vektorn i din ritning.
- Använd en exakt linjal. Till exempel, om du har valt omfattningen av en ruta på rutat papper som representerar 20 mph (32,2 km / t), och varje ruta är ¹ / _fyra tum (0,6 cm), då en vektor av 200 km / h (320 km / h) kommer att vara en linje som är 10 rutor eller 6 centimeter lång.
- Använd vid behov en gradskiva för att visa vektorn eller vinkeln. Om vektorn till exempel visar rörelse i nordöstra riktningen, rita en linje i en 45 graders vinkel från det horisontella.
- Vektorerna kan indikera många olika typer av riktningsmätningar. Om du diskuterar resor kan det betyda en riktning på kartan. För att skildra banan för ett kastat eller träffat föremål kan vektorens vinkel betyda färdvinkeln från marken. I kärnfysik kan en vektor indikera en elektronns riktning.
3
Rita en höger triangel, med vektorn som hypotenus. Börja med linjalen med vektorn och rita en horisontell linje så bred som nödvändigt för att sammanfalla med vektorn. Markera en pilspets vid spetsen för att indikera att detta också är en komponentvektor. Rita sedan en vertikal linje från den punkten till huvudet på originalvektorn. Markera också en pilspets vid denna punkt.
- Du borde ha skapat en rätt triangel, bestående av tre vektorer. Den ursprungliga vektorn är hypotenusen i rätt triangel. Basen på den högra triangeln är en horisontell vektor och höjden på den högra triangeln är en vertikal vektor.
- Det finns två undantag när du inte kan konstruera en rätt triangel. Detta inträffar när originalvektorn är antingen exakt horisontell eller vertikal. För en horisontell vektor är den vertikala komponenten noll och för en vertikal vektor är den horisontella komponenten noll.
Mätning av vektorkomponenter genom diagram kan vara en snabb och användbar metod för att approximera vektorkomponenter.
4
Märk de två komponentvektorerna. Beroende på vad som representeras av din ursprungliga vektor, bör du märka de två komponentvektorerna som du just har ritat. Till exempel, med hjälp av vektorn som representerar färd i nordostlig riktning, representerar den horisontella vektorn "Öst" och den vertikala vektorn representerar "Nord".
- Andra exempel på komponenter kan vara "Upp / Ner" eller "Vänster / Höger."
5
Mät komponentvektorerna. Du kan bestämma storleken på dina två komponentvektorer med antingen grafpapper ensamt eller en linjal. Om du använder en linjal, mät sedan längden på var och en av komponentvektorerna och konvertera med hjälp av skalan du har valt. Till exempel skulle en horisontell linje som är 1¹ ⁄ ₄ tum (3,2 cm) lång, med en skala på 2,50 cm = 80 mph., Representera en östlig komponent på 100 mph (160 km / h).
- Om du väljer att lita på grafpapper snarare än en linjal kan du behöva uppskatta lite. Om din linje korsar tre hela rutor på grafpapperet och faller mitt på 4: e rutan, måste du uppskatta bråkdelen av den sista rutan och multiplicera med din skala. Till exempel, om 1 kvadrat = 20 mph (32,2 km / h), och du uppskattar att en komponentvektor är 3,5 kvadrater, representerar den vektorn 70 mph.
- Upprepa mätningen för både de horisontella och vertikala komponentvektorerna och märk dina resultat.

Metod 2 av 4: beräkning av komponenter med trigonometri

1
Konstruera en grov skiss av originalvektorn. Genom att förlita sig på matematiska beräkningar behöver din graf inte vara så snyggt ritad. Du behöver inte bestämma någon mätningsskala. Skissa bara en stråle i den allmänna riktningen för din vektor. Märk din skissade vektor med dess storlek och vinkeln som den gör från det horisontella.
- Tänk till exempel på en raket som skjuts uppåt i en vinkel på 60 grader, med en hastighet på 1500 meter (5000 fot) per sekund. Du skulle skissa en stråle som pekar diagonalt uppåt. Märk dess längd "1500 m / s" och märk dess basvinkel "60°."
- Diagrammet som visas ovan indikerar en kraftvektor på 5 Newton i en vinkel på 37° från det horisontella.
2
Skissa och märk komponentvektorerna. Skissa en horisontell stråle som börjar vid basen av din ursprungliga vektor och pekar i samma riktning (vänster eller höger) som originalet. Detta representerar den horisontella komponenten i den ursprungliga vektorn. Skissa en vertikal stråle som förbinder huvudet på din horisontella vektor med huvudet på din ursprungliga vinklade vektor. Detta representerar den vertikala komponenten i den ursprungliga vektorn.
- En vektors horisontella och vertikala komponenter representerar ett teoretiskt, matematiskt sätt att bryta en kraft i två delar. Föreställ dig barnets leksak Etch-a-Sketch, med de separata "Vertical" och "Horizontal" teckningsknapparna. Om du ritade en linje med endast "Vertical" -knappen och sedan följde med en linje med "Horizontal" -knappen, skulle du sluta på samma plats som om du hade vridt båda knapparna i exakt samma hastigheter. Detta illustrerar hur en horisontell och vertikal kraft kan verka samtidigt på ett objekt.
Var uppmärksam på att matcha den horisontella komponenten i en vektor med den andra, och densamma för de vertikala komponenterna.
3
Använd sinusfunktionen för att beräkna den vertikala komponenten. Eftersom komponenterna i en vektor skapar en rätt triangel kan du använda trigonometriska beräkningar för att få exakta mätningar av komponenterna. Använd ekvationen:
- $\ sin \ theta = {\ frac {{\ text {vertical}}} {{\ text {hypotenuse}}}}$
- För missilexemplet kan du beräkna den vertikala komponenten genom att ersätta de värden som du känner och sedan förenkla enligt följande:
  - $\ sin \ theta = {\ frac {{\ text {vertical}}} {{\ text {hypotenuse}}}}$
  - $\ sin (60) = {\ frac {{\ text {vertical}}} {1500}}$
  - $1500 \ sin (60) = {\ text {vertikalt}}$
  - $1500 * 0,866 = {\ text {vertikalt}}$
  - $1299$
- Märk ditt resultat med lämpliga enheter. I detta fall representerar den vertikala komponenten en uppåtgående hastighet på 1299 meter (4000 fot) per sekund.
- Diagrammet ovan visar ett alternativt exempel, som beräknar komponenterna i en kraft på 5 Newton i en 37 graders vinkel. Med sinusfunktionen beräknas den vertikala kraften till 3 Newton.
4
Använd cosinusfunktionen för att beräkna den horisontella komponenten. På samma sätt som du använder sinus för att beräkna den vertikala komponenten kan du använda cosinus för att hitta storleken på den horisontella komponenten. Använd ekvationen:
- $\ cos \ theta = {\ frac {{\ text {horisontellt}}} {{\ text {hypotenus}}}}$
- Använd detaljerna från missilexemplet för att hitta dess horisontella komponent enligt följande:
  - $\ cos \ theta = {\ frac {{\ text {horisontellt}}} {{\ text {hypotenus}}}}$
  - $\ cos (60) = {\ frac {{\ text {horisontellt}}} {1500}}$
  - $1500 \ cos (60) = {\ text {horisontellt}}$
  - $1500 * 0,5 = {\ text {horisontellt}}$
  - $750$
- Märk ditt resultat med lämpliga enheter. I det här fallet representerar den horisontella komponenten en hastighet framåt (eller vänster, höger, bakåt) på 750 meter (2000 fot) per sekund.
- Diagrammet ovan visar ett alternativt exempel, som beräknar komponenterna i en kraft på 5 Newton i en 37 graders vinkel. Med cosinusfunktionen beräknas den horisontella kraften till 4 Newton.

Metod 3 av 4: använda vektorkomponenter för att lägga till vektorer

1
Förstå vad "lägga till" vektorer betyder. Tillägg är i allmänhet ett ganska enkelt begrepp, men det får särskild betydelse när man arbetar med vektorer. En enda vektor representerar en rörelse, en kraft eller något annat fysiskt element som verkar på ett objekt. Om det finns två eller flera krafter som verkar samtidigt kan du "lägga till" dessa krafter för att hitta den resulterande kraften som verkar på objektet.
- Tänk till exempel på en golfboll som slås i luften. En kraft som verkar på bollen är kraften från den initiala träffen, och den består av en vinkel och storlek. En annan kraft kan vara vinden, som har sin egen vinkel och storlek. Att lägga till dessa två krafter kan beskriva den resulterande bollens rörelse.
2
Dela upp varje vektor i dess komponenter. Innan du kan lägga till vektorerna måste du bestämma komponenterna i var och en. Använd någon av de processer som beskrivs i den här artikeln och hitta de horisontella och vertikala komponenterna för varje kraft.
- Antag till exempel att golfbollen träffas i en 30 graders vinkel uppåt med en hastighet på 130 km / h (210 km / h). Med hjälp av trigonometri är de två komponentvektorerna därför:
  - ${\ text {vertical}} = 130 \ sin (30) = 65 {\ text {mph}}$
  - ${\ text {horisontellt}} = 130 \ cos (30) = 112,6 {\ text {mph}}$
- Tänk sedan på vektorn som representerar vindens kraft. Antag att vinden blåser bollen nedåt i en vinkel på 10 grader, med en hastighet på 10,1 km / h. (Vi ignorerar vänster och höger styrka för enkelhet i beräkningen). Vindens två komponenter kan beräknas på samma sätt:
  - ${\ text {vertical}} = 10 \ sin (-10) = - 1,74 {\ text {mph}}$
  - ${\ text {horisontellt}} = 10 \ cos (-10) = 9,85 {\ text {mph}}$
  - Lägg märke till att vi använder en vinkel på -10 grader eftersom vinden blåser ner och verkar mot träffens kraft.
Till exempel, med hjälp av vektorn som representerar färd i nordostlig riktning representerar den horisontella vektorn "Öst" och den vertikala vektorn representerar "Nord".
3
Lägg till komponenterna. Eftersom komponentvektorerna alltid mäts i rät vinkel kan du lägga till dem direkt. Var uppmärksam på att matcha den horisontella komponenten i en vektor med den andra horisontella komponenten, och densamma för de vertikala komponenterna.
- För detta exempel är den resulterande vertikala vektorn summan av de två komponenterna:
  - ${\ text {vertikalt}} = 65 + (- 1,74) = 63,26$
  - ${\ text {horisontellt}} = 112,6 + 9,85 = 122,45$
- Tolk innebörden av dessa resultat. Nettokraften som verkar på golfbollen, på grund av både träff och vind, motsvarar en enda kraft med komponenter på 63,26 mph (101,81 km / h) vertikalt och 122,45 miles per timme horisontellt.
4
Använd pythagorasatsningen för att hitta storleken på den resulterande vektorn. I slutändan, vad du vill veta är nettoeffekten av både golfsvinget och vinden, som verkar tillsammans på bollen. Om du känner till de två komponenterna kan du sätta ihop dem med Pythagoras sats för att hitta storleken på den resulterande vektorn.
- Kom ihåg att komponentvektorerna representerar benen i en höger triangel. Den resulterande vektorn är hypotenusen för den högra triangeln. Med Pythagoras sats, c2 = a2 + b2 {\ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2}} $C ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2}$ , kan du beräkna detta enligt följande:
  - ${\ text {resultant}} ^ {2} = 63,26 ^ {2} + 122,45 ^ {2}$
  - ${\ text {resultant}} ^ {2} = 18995,83$
  - ${\ text {resultant}} = {\ sqrt {18995,83}}$
  - ${\ text {resultant}} = 137,83$
- Således representerar den resulterande vektorn en enda kraft på bollen med en styrka av 137,83 mph (221,82 km / h). Lägg märke till att detta är något högre än kraften från den första träffen, eftersom vinden driver bollen framåt samtidigt som den trycker ner den.
5
Använd trigonometri för att hitta vinkeln på den resulterande vektorn. Att känna till den resulterande vektorn är hälften av lösningen. Den andra halvan är att hitta nettovinkeln för den resulterande vektorn. I det här exemplet måste du hitta den resulterande vinkeln eftersom golfsvingen applicerar en uppåtgående kraft och vinden applicerar en nedåt, men mindre kraft.
- Skissa en höger triangel och märk komponenterna. Den horisontella basen av triangeln representerar den främre vektorkomponenten på 122,45. Det vertikala benet representerar den uppåtriktade vektorkomponenten 63,26. Hypotenusen representerar den resulterande vektorn med en storlek på 137,83.
- Du kan välja antingen sinusfunktionen med den vertikala komponenten eller cosinusfunktionen med den horisontella komponenten för att hitta vinkeln. Resultatet blir detsamma.
  - $\ sin \ theta = {\ frac {63,26} {137,83}}$
  - $\ sin \ theta = 0,459$
  - $\ theta = \ arcsin (0,459)$
  - $\ theta = 27,32$
- Således representerar den resulterande vektorn en enda kraft som verkar på kulan i en uppåtvinkel på 27,32 grader. Detta är vettigt, eftersom det är något lägre än gungans vinkel, vid 30 grader, på grund av vindens nedåtgående kraft. Men golf swing är en mycket starkare kraft än vinden i detta exempel, så vinkeln är fortfarande nära 30.
6

Sammanfatta din resulterande vektor. För att rapportera den resulterande vektorn anger du både dess vinkel och storlek. I golfbollsexemplet har den resulterande vektorn en storlek på 137,83 mph (221,82 km / h), i en vinkel på 27,32 grader över horisontalen.

Vilka är de minsta komponenter som vi kan använda för att lösa en vektor i dess komponenter?

Metod 4 av 4: granskning av vektorer och deras komponenter

1
Minns definitionen av en vektor. En vektor är ett matematiskt verktyg som används i fysik för att representera hur krafter verkar på ett objekt. En vektor sägs representera två element i kraften, dess riktning och dess storlek.
- Du kan till exempel beskriva ett rörligt föremåls rörelse genom att ange riktningen för dess rörelse och hastighet. Man kan säga att ett plan rör sig i nordvästlig riktning vid 800 km / h. Nordväst är riktningen och 500 km / h (800 km / h) är storleken.
- En hund som hålls i koppel upplever en vektorkraft. Kopplingen som ägaren håller på dras diagonalt uppåt med viss kraft. Diagonalens vinkel är vektorn riktning och styrkan hos kraften är storleken.
2
Förstå terminologin för diagramvektorer. När du ritar en vektor, antingen med en exakt ritad representation på grafpapper eller bara en grov skiss, används vissa geometriska termer.
- En vektor representeras grafiskt av en ${\ text {ray}}$ . En stråle, i geometri, är ett linjesegment som börjar vid en punkt och teoretiskt sett fortsätter oändligt i någon riktning. En stråle ritas genom att markera en punkt, sedan ett linjesegment med lämplig längd och markera en pilspets i motsatt ände av linjesegmentet.
- Den ${\ text {tail}}$ av en vektor är dess startpunkt. Geometriskt är detta slutpunkten för strålen.
- Den ${\ text {head}}$ av en vektor är placeringen av pilspetsen. Skillnaden mellan en geometrisk stråle och en vektor är att strålens pilspets representerar teoretisk rörelse av oändligt avstånd i given riktning. En vektor använder dock pilspetsen för att ange riktning, men längden på vektorn slutar vid linjesegmentets spets för att mäta dess storlek. Med andra ord, om du skissar en stråle i geometri är längden irrelevant. Om du ritar en vektor är längden dock mycket viktig.
3
Kom ihåg lite grundläggande trigonometri. Komponentdelar i en vektor förlitar sig på trigonometri för rätt trianglar. Varje diagonalt linjesegment kan bli hypotenusen för en rätt triangel genom att skissa en horisontell linje från ena änden och en vertikal linje från den andra änden. När dessa två linjer möts har du definierat en rätt triangel.
- Referensvinkeln är den vinkel som görs genom att mäta från den högra triangelns horisontella bas till hypotenusen.
- Sinusen för referensvinkeln kan bestämmas genom att dela längden på det motsatta benet med längden på hypotenusen.
- Referensvinkelns cosinus kan bestämmas genom att dela längden på triangelns bas (eller intilliggande ben) med hypotenusens längd.

Varningar

Mätning av vektorkomponenter genom diagram kan vara en snabb och användbar metod för att approximera vektorkomponenter. Det är dock inte en mycket noggrann metod, om du inte är extremt bra på att rita och mäta. Om du vill ha snabba, runda siffror ska det fungera bra. För mer exakta resultat, lita på matematiken i trigonometriska beräkningar.

Läs också: Hur kartlägger jag linjärt område mellan en funktion och en annan funktion?

Hur löser man en vektor i komponenter?

Steg

Metod 1 av 4: identifiera komponenter genom grafer

Metod 2 av 4: beräkning av komponenter med trigonometri

Metod 3 av 4: använda vektorkomponenter för att lägga till vektorer

Metod 4 av 4: granskning av vektorer och deras komponenter

Varningar

Frågor och svar

Läs också: