Hur får man logistisk tillväxt?
I den här artikeln får vi logistisk tillväxt både genom separering av variabler och genom att lösa Bernoulli-ekvationen.
En logistisk funktion är en S-formad funktion som vanligtvis används för att modellera befolkningstillväxt. Befolkningstillväxten begränsas av begränsade resurser, så för att ta hänsyn till detta introducerar vi en bärförmåga för systemet L, {\ displaystyle L,} som befolkningen asymptotiskt tenderar mot. Logistisk tillväxt kan därför uttryckas med följande differentiella ekvation
En logistisk funktion är en S-formad funktion som vanligtvis används för att modellera befolkningstillväxt.
dPdt = kP (1 − PL) {\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} P} {\ mathrm {d} t}} = kP \ left (1 - {\ frac {P} {L}} \ höger)}
Vi löste differentialekvationen, men den var linjär, så vi måste ta det ömsesidiga av vårt svar.
där P {\ displaystyle P} är populationen, t {\ displaystyle t} är tid och k {\ displaystyle k} är en konstant. Vi kan tydligt se att eftersom befolkningen tenderar mot sin bärförmåga, sänks dess ökningstakt till 0. Ovanstående ekvation är faktiskt ett speciellt fall av Bernoulli-ekvationen. I den här artikeln får vi logistisk tillväxt både genom separering av variabler och genom att lösa Bernoulli-ekvationen.
Metod 1 av 2: separering av variabler
- 1Separata variabler.
- 1P (1 − PL) dP = kdt {\ displaystyle {\ frac {1} {P \ left (1 - {\ frac {P} {L}} \ right)}} \ mathrm {d} P = k \ mathrm {d} t}
- 2Sönderdelas i partiella fraktioner. Eftersom nämnaren på vänster sida har två termer, måste vi separera dem för enkel integration.
- Multiplicera vänster sida med LL {\ displaystyle {\ frac {L} {L}}} och sönderdelas.
- LLP − P2dP = LP (L − P) dP = APdP + BL − PdP {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {L} {LP-P ^ {2}}} \ mathrm {d} P & = { \ frac {L} {P (LP)}} \ mathrm {d} P \\ & = {\ frac {A} {P}} \ mathrm {d} P + {\ frac {B} {LP}} \ mathrm {d} P \ end {align}}}
- Lös för A {\ displaystyle A} och B. {\ Displaystyle B.}
- L = A (L − P) + BP, låt L = 0 {\ displaystyle L = A (LP) + BP, \ {\ text {let}} L = 0}
- 0 = −AP + BP, A = B {\ displaystyle 0 = -AP + BP, \ A = B}
- låt P = 0: L = AL {\ displaystyle {\ text {let}} P = 0: L = AL}
- A = 1, B = 1 {\ displaystyle A = 1, \ B = 1}
- Multiplicera vänster sida med LL {\ displaystyle {\ frac {L} {L}}} och sönderdelas.
- 3Integrera båda sidor.
- ∫1PdP + ∫1L − PdP = ∫kdtln | P | −ln | L − P | = kt + C {\ displaystyle {\ begin {align} \ int {\ frac {1} {P}} \ mathrm {d } P + \ int {\ frac {1} {LP}} \ mathrm {d} P & = \ int k \ mathrm {d} t \\\ ln | P | - \ ln | LP | & = kt + C \ end {Justerat}}}
- 4Isolera p {\ displaystyle p} . Vi förnekar båda sidor, för när vi kombinerar loggarna vill vi att P {\ displaystyle P} ska vara på botten, för enkelhetens skull. Som alltid påverkas aldrig C {\ displaystyle C} , eftersom det är godtyckligt.
- −ln | P | + ln | L − P | = −kt + Cln | L − PP | = −kt + C {\ displaystyle {\ begin {aligned} - \ ln | P | + \ ln | LP | & = - kt + C \\\ ln \ left | {\ frac {LP} {P}} \ right | & = - kt + C \ end {align}}}
- 5Lös för p {\ displaystyle p} . Vi låter A = eC {\ displaystyle A = e ^ {C}} och känner igen att det inte påverkas av plus-minus-tecknet så att vi kan kasta bort det.
- ln | L − PP | = −kt + C | L − PP | = e − kt + CL − PP = ± Ae − ktLP − 1 = Ae − ktPL = 1Ae − kt + 1 {\ displaystyle {\ begin {justerad } \ ln \ left | {\ frac {LP} {P}} \ right | & = - kt + C \\\ left | {\ frac {LP} {P}} \ right | & = e ^ {- kt + C} \\ {\ frac {LP} {P}} & = \ pm Ae ^ {- kt} \\ {\ frac {L} {P}} - 1 & = Ae ^ {- kt} \\ {\ frac {P} {L}} & = {\ frac {1} {Ae ^ {- kt} +1}} \ end {aligned}}}
- P = LAe − kt + 1 {\ displaystyle P = {\ frac {L} {Ae ^ {- kt} +1}}}
- Ovanstående ekvation är lösningen på det logistiska tillväxtproblemet, med en graf över den logistiska kurvan. Som förväntat av en första ordningens differentiella ekvation har vi ytterligare en konstant A, {\ displaystyle A,} som bestäms av den ursprungliga populationen.
Ovanstående ekvation är lösningen på det logistiska tillväxtproblemet, med en graf över den logistiska kurvan.
Metod 2 av 2: Bernoulli-ekvation
- 1Skriv den logistiska differentialekvationen. Expandera höger sida och flytta den första ordningstiden till vänster. Vi kan tydligt se att denna ekvation är olinjär från termen P2 {\ displaystyle P ^ {2}} . I allmänhet har icke-linjära differentialekvationer inga lösningar som kan skrivas i termer av elementära funktioner, men Bernoulli-ekvationen är ett viktigt undantag.
- dPdt − kP = −kLP2 {\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} P} {\ mathrm {d} t}} - kP = - {\ frac {k} {L}} P ^ {2}}
- 2Multiplicera båda sidor med −p − 2 {\ displaystyle -p ^ {- 2}} . När vi löser Bernoulli-ekvationer i allmänhet skulle vi multiplicera med (1 − n) P − n, {\ displaystyle (1-n) P ^ {- n},} där n {\ displaystyle n} betecknar graden av den icke-linjära termen. I vårt fall är det 2.
- −P − 2dPdt + kP − 1 = kL {\ displaystyle -P ^ {- 2} {\ frac {\ mathrm {d} P} {\ mathrm {d} t}} + kP ^ {- 1} = {\ frac {k} {L}}}
- 3Skriv om den härledda termen. Vi kan tillämpa kedjeregeln bakåt för att se att −P − 2dPdt = dP − 1dt. {\ Displaystyle -P ^ {- 2} {\ frac {\ mathrm {d} P} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} P ^ {- 1}} {\ mathrm {d} t}}.} Ekvationen är nu linjär i P − 1. {\ displaystyle P ^ {- 1}.}
- dP − 1dt + kP − 1 = kL {\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} P ^ {- 1}} {\ mathrm {d} t}} + kP ^ {- 1} = {\ frac {k } {L}}}
- 4Lös ekvationen för p − 1 {\ displaystyle p ^ {- 1}} . Som standard för linjära första ordnings differentiella ekvationer använder vi integreringsfaktorn e∫g (x) dx, {\ displaystyle e ^ {\ int g (x) \ mathrm {d} x},} där g (x) {\ displaystyle g (x)} är koefficienten för P − 1, {\ displaystyle P ^ {- 1},} för att konvertera till en exakt ekvation. Därför är vår integrationsfaktor ekt. {\ Displaystyle e ^ {kt}.}
- ektdP − 1 + (kP − 1 − kL) ektdt = 0 {\ displaystyle e ^ {kt} \ mathrm {d} P ^ {- 1} + \ left (kP ^ {- 1} - {\ frac {k} {L}} \ höger) e ^ {kt} \ mathrm {d} t = 0}
- ∫ektdP − 1 = P − 1ekt + R (t) {\ displaystyle \ int e ^ {kt} \ mathrm {d} P ^ {- 1} = P ^ {- 1} e ^ {kt} + R (t)}
- R (t) = ∫ − kLektdt = −1Lekt {\ displaystyle {\ begin {align} R (t) & = \ int - {\ frac {k} {L}} e ^ {kt} \ mathrm {d} t \\ & = - {\ frac {1} {L}} e ^ {kt} \ end {align}}}
- 1Pekt − 1Lekt = C {\ displaystyle {\ frac {1} {P}} e ^ {kt} - {\ frac {1} {L}} e ^ {kt} = C}
- 5Isolera p {\ displaystyle p} . Vi löste differentialekvationen, men den var linjär i P − 1, {\ displaystyle P ^ {- 1},} så vi måste ta det ömsesidiga av vårt svar.
- 1P − 1L = Ce − ktL − PPL = Ce − ktL − P = PLCe − ktL = P (1 + LCe − kt) {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {1} {P}} - {\ frac {1} {L}} & = Ce ^ {- kt} \\ {\ frac {LP} {PL}} & = Ce ^ {- kt} \\ LP & = PLCe ^ {- kt} \\ L & = P (1 + LCe ^ {- kt}) \ slut {justerad}}}
- 6Komma fram till lösningen. Skriv om LC {\ displaystyle LC} som en ny konstant A. {\ displaystyle A.}
- P = L1 + Ae − kt {\ displaystyle P = {\ frac {L} {1 + Ae ^ {- kt}}}}
Läs också: Hur avbryter man bråk?
