Hur förenklar komplexa fraktioner?

Nämnaren för denna komplexa fraktion till enstaka fraktioner — Att reducera täljaren och nämnaren för denna komplexa fraktion till enstaka fraktioner, omvänd multiplicering och reducera resultatet till enklaste termer är sannolikt en komplicerad process.

Komplexa fraktioner är fraktioner där antingen täljaren, nämnaren eller båda innehåller fraktioner själva. Av denna anledning kallas ibland komplexa fraktioner som "staplade fraktioner". Att förenkla komplexa fraktioner är en process som kan sträcka sig från lätt till svårt baserat på hur många termer som finns i täljaren och nämnaren, om någon av termerna är variabler, och i så fall komplexiteten hos de variabla termerna. Se steg 1 nedan för att komma igång!

Metod 1 av 2: förenkla komplexa fraktioner med invers multiplikation

1
Om det är nödvändigt, förenkla täljaren och nämnaren i enstaka bråk. Komplexa fraktioner är inte nödvändigtvis svåra att lösa. Faktum är att komplexa fraktioner där täljaren och nämnaren båda innehåller en enda fraktion vanligtvis är ganska enkla att lösa. Så om täljaren eller nämnaren för din komplexa bråk (eller båda) innehåller flera bråk eller bråk och heltal, förenkla vid behov för att få en enda bråk i både täljaren och nämnaren. Detta kan kräva att man hittar den minsta gemensamma nämnaren (LCM) av två eller flera fraktioner.
- Låt oss till exempel säga att vi vill förenkla den komplexa fraktionen (0,6 + 25) / (0,71 - 30). Först skulle vi förenkla både täljaren och nämnaren för vår komplexa bråk till enstaka bråk.
  - För att förenkla täljaren använder vi en LCM på 15 genom att multiplicera 0,6 med 1. Vår täljare blir 95 + 25, vilket motsvarar 115.
  - För att förenkla nämnaren använder vi en LCM på 70 genom att multiplicera 0,71 med 10/10 och 30 med 1. Vår nämnare blir 50/70 - 20 140, vilket motsvarar 21 290.
  - Således är vår nya komplexa fraktion (115) / (21.290).
2
Vänd nämnaren för att hitta dess inversa. Per definition är att dividera ett tal med ett annat som att multiplicera det första numret med det inversa av det andra. Nu när vi har erhållit en komplex fraktion med en enda bråk i både täljaren och nämnaren, kan vi använda denna egenskap av division för att förenkla vår komplexa fraktion! Hitta först fraktionens invers på botten av den komplexa fraktionen. Gör detta genom att "vända" fraktionen - ställ täljaren i stället för nämnaren och vice versa.
- I vårt exempel är fraktionen i nämnaren för den komplexa fraktionen (115) / (21,290) 21,290. För att hitta dess inversa, "vänder" vi helt enkelt för att få 70/29.
  - Observera att om din komplexa bråk har ett heltal i nämnaren, kan du behandla den som en bråkdel och hitta dess inversa likadant. Till exempel, om vår komplexa fraktion var (115) / (29), kan vi definiera nämnaren som 29, vilket gör dess inversa 0,59.
Först skulle vi förenkla både täljaren och nämnaren för vår komplexa bråk till enstaka bråk.
3
Multiplicera täljaren för den komplexa fraktionen med den inversa av nämnaren. Nu när du har fått det omvända av din komplexa fraktions nämnare, multiplicera den med täljaren för att få en enda enkel bråkdel! Kom ihåg att för att multiplicera två fraktioner multiplicerar vi helt enkelt tvärs över - täljaren för den nya fraktionen är produkten av täljarna för de två gamla, och på samma sätt med nämnaren.
- I vårt exempel skulle vi multiplicera 115 × 70/29. 70 × 11 = 770 och 15 × 29 = 435. Så vår nya enkla fraktion är 770/435.
4
Förenkla den nya fraktionen genom att hitta den största gemensamma faktorn. Vi har nu en enda, enkel fraktion, så allt som återstår är att göra den på så enkla termer som möjligt. Hitta den största gemensamma faktorn (GCF) för täljaren och nämnaren och dela båda med detta nummer för att förenkla.
- En gemensam faktor på 770 och 435 är 5. Om vi delar täljaren och nämnaren av vår bråkdel med 5, får vi 150,57. 154 och 87 har inga gemensamma faktorer, så vi vet att vi har hittat vårt slutliga svar!

Metod 2 av 2: förenkla komplexa fraktioner som innehåller variabla termer

1
När det är möjligt, använd den inversa multiplikationsmetoden ovan. För att vara tydlig kan praktiskt taget alla komplexa fraktioner förenklas genom att reducera dess täljare och nämnare till enstaka bråk och multiplicera täljaren med nämnda invers. Komplexa fraktioner som innehåller variabler är inget undantag, men ju mer komplicerade variabla uttryck i den komplexa fraktionen är desto svårare och mer tidskrävande är det att använda invers multiplikation. För "enkla" komplexa fraktioner som innehåller variabler är invers multiplikation ett bra val, men komplexa fraktioner med flera variabla termer i täljaren och nämnaren kan vara enklare att förenkla med den alternativa metoden som beskrivs nedan.
- Till exempel är (1 / x) / (x / 6) lätt att förenkla med invers multiplikation. 1 / x × 6 / x = 6 / x ². Här finns det inget behov av att använda en alternativ metod.
- Men (((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))) är svårare att förenkla med invers multiplikation. Att reducera täljaren och nämnaren för denna komplexa fraktion till enstaka fraktioner, omvänd multiplicering och reducera resultatet till enklaste termer är sannolikt en komplicerad process. I det här fallet kan den alternativa metoden nedan vara enklare.
Så om täljaren eller nämnaren för din komplexa bråk (eller båda) innehåller flera bråk eller bråk och heltal, förenkla vid behov för att få en enda bråk i både täljaren och nämnaren.
2
Om omvänd multiplikation är opraktisk, börja med att hitta den lägsta gemensamma nämnaren för bråktermerna i den komplexa fraktionen. Det första steget i denna alternativa metod för förenkling är att hitta LCD-skärmen för alla bråktermer i den komplexa fraktionen - både i dess täljare och i dess nämnare. Vanligtvis, om en eller flera av bråktermerna har variabler i sina nämnare, är deras LCD bara produkten av deras nämnare.
- Detta är lättare att förstå med ett exempel. Låt oss försöka förenkla den komplexa fraktion som vi nämnde ovan, (((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))). Bråktermerna i denna komplexa fraktion är (1) / (x + 3) och (1) / (x-5). Den gemensamma nämnaren för dessa två fraktioner är produkten av deras nämnare: (x + 3) (x-5).
3
Multiplicera täljaren för den komplexa fraktionen med LCD-skärmen du just hittade. Därefter måste vi multiplicera termerna i vår komplexa fraktion med LCD-skärmen av dess bråktermer. Med andra ord kommer vi att multiplicera hela den komplexa fraktionen med (LCD) / (LCD). Vi kan göra detta fritt eftersom (LCD) / (LCD) är lika med 1. Multiplicera först täljaren själv.
- I vårt exempel skulle vi multiplicera vår komplexa fraktion, (((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))), med ((x + 3) (x-5)) / ((x + 3) (x-5)). Vi måste multiplicera genom täljaren och nämnaren för den komplexa fraktionen, multiplicera varje term med (x + 3) (x-5).
  - Låt oss först multiplicera täljaren: (((1) / (x + 3)) + x - 10) × (x + 3) (x-5)
    - = (((x + 3) (x-5) / (x + 3)) + x ((x + 3) (x-5)) - 10 ((x + 3) (x-5))
    - = (x-5) + (x (x ² - 2x - 15)) - (10 (x ² - 2x - 15))
    - = (x-5) + (x ³ - 2x ² - 15x) - (10x ² - 20x - 150)
    - = (x-5) + x ³ - 12x ² + 5x + 150
    - = x ³ - 12x ² + 6x + 145
4
Multiplicera nämnaren för den komplexa fraktionen med LCD-skärmen som du gjorde med täljaren. Fortsätt multiplicera den komplexa fraktionen med LCD-skärmen du hittade genom att gå vidare till nämnaren. Multiplicera genom att multiplicera varje term med LCD-skärmen.
- Nämnaren för vår komplexa fraktion, (((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))), är x +4 + ((1) / (x-5)). Vi kommer att multiplicera detta med LCD-skärmen vi hittade, (x + 3) (x-5).
  - (x +4 + ((1) / (x - 5))) × (x + 3) (x-5)
  - = x ((x + 3) (x-5)) + 4 ((x + 3) (x-5)) + (1 / (x-5)) (x + 3) (x-5).
  - = x (x ² - 2x - 15) + 4 (x ² - 2x - 15) + ((x + 3) (x-5)) / (x-5)
  - = x ³ - 2x ² - 15x + 4x ² - 8x - 60 + (x + 3)
  - = x ³ + 2x ² - 23x - 60 + (x + 3)
  - = x ³ + 2x ² - 22x - 57
För att förenkla komplexa fraktioner, börja med att hitta den inversa av nämnaren, vilket du kan göra genom att helt enkelt vända fraktionen.
5
Bilda en ny, förenklad bråkdel från täljaren och nämnaren som du just hittade. När du har multiplicerat din bråk med ditt (LCD) / (LCD) uttryck och förenklat genom att kombinera lika termer, bör du vara kvar med en enkel bråk som inte innehåller några bråktermer. Som du kanske har märkt, genom att multiplicera med LCD-skärmen för bråktermerna i den ursprungliga komplexa fraktionen, avbryter nämnarna av dessa bråk, och lämnar variabla termer och heltal i täljaren och nämnaren för ditt svar, men inga bråk.
- Med hjälp av täljaren och nämnaren vi hittade ovan kan vi konstruera en bråk som är lika med vår initiala komplexa bråk men som inte innehåller några bråktermer. Täljaren vi fick var x ³ - 12x ² + 6x + 145 och nämnaren var x ³ + 2x ² - 22x - 57, så vår nya fraktion är (x ³ - 12x ² + 6x + 145) / (x ³ + 2x ² - 22x - 57)

Tips

Visa varje steg i ditt arbete. Fraktioner kan lätt bli förvirrande om du försöker röra dig för snabbt eller försöker göra dem i ditt huvud.
Hitta exempel på komplexa fraktioner online eller i din lärobok. Följ med varje steg tills du får grepp om det.

Läs också: Hur läser jag oddsen?

Hur förenklar komplexa fraktioner?

Steg

Metod 1 av 2: förenkla komplexa fraktioner med invers multiplikation

Metod 2 av 2: förenkla komplexa fraktioner som innehåller variabla termer

Tips

Frågor och svar

Läs också: