Hur beräknar jag en Fouriers transformation av en funktion?

Som med Laplace-transform kan beräkning av Fourier-transformering av en funktion göras direkt med hjälp av definitionen.

Fouriertransformen är en integrerad transform som ofta används inom fysik och teknik. De används ofta i signalanalys och är välutrustade för att lösa vissa partiella differentialekvationer.

Konvergenskriterierna för Fourier-transformationen (nämligen att funktionen ska vara helt integrerbar på den verkliga linjen) är ganska allvarliga på grund av avsaknaden av den exponentiella sönderfallstermen som vi ser i Laplace-transformen, och det betyder att det fungerar som polynom, exponentials, och trigonometriska funktioner har alla inte Fourier-transformationer i vanlig mening. Vi kan dock använda Dirac delta-funktionen för att tilldela dessa funktioner Fourier-transformationer på ett sätt som är vettigt.

Fourier-transformationen av en jämn funktion är också jämn, eftersom integralen är jämn på grund av dessutom, om den är verklig, är dess Fourier-transformation också verklig.

Eftersom även de enklaste funktionerna som kan påträffas kan behöva denna typ av behandling, rekommenderas det att du känner till egenskaperna hos Laplace-transformationen innan du går vidare. Dessutom är det mer lärorikt att börja med egenskaperna hos Fourier-transformen innan vi går vidare till mer konkreta exempel.

Förberedelser

Vi definierar Fourier-transformationen av f (t) {\ displaystyle f (t)} $Med)$ som följande funktion, förutsatt att integralen konvergerar.
- ${\ hat {f}} (\ omega) = {\ mathcal {f}} \ {f (t) \} = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} f (t) e ^ {{- i \ omega t}} {\ mathrm {d}} t$
Den inversa Fourier-transformen definieras på ett liknande sätt. Lägg märke till den symmetri som finns mellan Fourier-transformen och dess inversa, en symmetri som inte finns i Laplace-transformationen.
- $F (t) = {\ mathcal {f}} ^ {{- 1}} \ {{\ hat {f}} (\ omega) \} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} {\ hat {f}} (\ omega) e ^ {{i \ omega t}} {\ mathrm {d}} \ omega$
Det finns många andra definitioner av Fourier-transformationen. Ovanstående definition med användning av vinkelfrekvens är en av dem, och vi kommer att använda denna konvention i den här artikeln. Se tipsen för två andra vanliga definitioner.
Fouriertransformen och dess inversa är linjära operatorer, och därför lyder de båda superposition och proportionalitet.
- $\ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} [af (t) + bg (t)] e ^ {{- i \ omega t}} {\ mathrm {d}} t = a \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} f (t) e ^ {{- i \ omega t}} {\ mathrm {d}} t + b \ int _ {{- \ infty} } ^ {{\ infty}} g (t) e ^ {{- i \ omega t}} {\ mathrm {d}} t$

Fourier-transformationen av en udda funktion är också udda, eftersom integralen är udda på grund av dessutom, om den är verklig, är dess Fourier-transformation rent imaginär.

Del 1 av 3: egenskaper hos Fourier-transform

1
Bestäm Fourier-transform av ett derivat. En enkel integration av delar, i kombination med iakttagelsen att f (t) {\ displaystyle f (t)} $Med)$ måste försvinna vid båda oändligheterna, ger svaret nedan.
- ${\ begin {align} {\ mathcal {f}} \ {f ^ {{\ prime}} (t) \} och = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} f ^ { {\ prime}} (t) e ^ {{- i \ omega t}} {\ mathrm {d}} t, \ \ u = e ^ {{- i \ omega t}}, \ v = f ^ { {\ prime}} (t) {\ mathrm {d}} t \\ and = i \ omega {\ hat {f}} (\ omega) \ end {aligned}}$
- I allmänhet kan vi ta n {\ displaystyle n} $N$ -derivat.
  - ${\ mathcal {f}} \ {f ^ {{(n)}} (t) \} = (i \ omega) ^ {{n}} {\ hat {f}} (\ omega)$
- Detta ger den intressanta egenskapen, som anges nedan, som kan vara bekant i kvantmekanik som den form som momentumoperatören tar i positionsutrymme (till vänster) och momentum (till höger).
  - $-i {\ frac {{\ mathrm {d}}} {{\ mathrm {d}} t}} \ to \ omega$
2
Bestäm Fourier-transformationen av en funktion multiplicerad med $t ^ {{n}}$ . Fourier-transformens symmetri ger den analoga egenskapen i frekvensutrymmet. Vi arbetar först med n = 1 {\ displaystyle n = 1} $N = 1$ och generaliserar sedan.
- ${\ begin {align} {\ mathcal {f}} \ {tf (t) \} och = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} tf (t) e ^ {{- i \ omega t}} {\ mathrm {d}} t \\ and = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} i {\ frac {\ partial} {\ partial \ omega}} (e ^ {{- i \ omega t}}) f (t) {\ mathrm {d}} t \\ and = i {\ frac {{\ mathrm {d}}} {{\ mathrm {d}} \ omega}} {\ hat {f}} (\ omega) \ end {align}}$
- I allmänhet kan vi multiplicera med tn. {\ Displaystyle t ^ {n}.} $T ^ {{n}}.$
  - ${\ mathcal {f}} \ {t ^ {{n}} f (t) \} = i ^ {{n}} {\ frac {{\ mathrm {d}} ^ {{n}}} {{ \ mathrm {d}} \ omega ^ {{n}}}} {\ hat {f}} (\ omega)$
- Vi får omedelbart nedanstående resultat. Detta är en symmetri som inte realiseras fullt ut med Laplace-transformationerna mellan variablerna t {\ displaystyle t} $T$ och s. {\ Displaystyle s.} $S.$
  - $Jag {\ frac {{\ mathrm {d}}} {{\ mathrm {d}} \ omega}} \ till t$
3
Bestäm Fourier-transformationen av en funktion multiplicerad med $e ^ {{iat}}$ . Multiplikation med eiat {\ displaystyle e ^ {iat}} $E ^ {{iat}}$ i tidsdomänen motsvarar en förändring i frekvensdomänen.
- ${\ mathcal {f}} \ {e ^ {{iat}} f (t) \} = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} f (t) e ^ {{- i (\ omega -a) t}} {\ mathrm {d}} t = {\ hat {f}} (\ omega -a)$
4
Bestäm fouriertransformationen för en förskjuten funktion $f (tc)$ . En förskjutning i tidsdomänen motsvarar multiplikation med e − iωc {\ displaystyle e ^ {- i \ omega c}} $E ^ {{- i \ omega c}}$ i frekvensdomänen, vilket åter illustrerar symmetrin mellan t {\ displaystyle t} $T$ och ω. {\ Displaystyle \ omega.} $\omega.$ Vi kan enkelt utvärdera detta med ett enkelt byte.
- ${\ begin {align} {\ mathcal {f}} \ {f (tc) \} och = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} f (tc) e ^ {{- i \ omega t}} {\ mathrm {d}} t \\ och = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} f (t) e ^ {{- i \ omega (t + c)}} {\ mathrm {d}} t \\ och = e ^ {{- i \ omega c}} {\ hat {f}} (\ omega) \ end {aligned}}$
5
Bestäm Fourier-transform av en sträckt funktion $f (ct)$ . Sträckegenskapen som ses i Laplace-transformen har också en analog i Fourier-transformationen.
- ${\ begin {align} {\ mathcal {f}} \ {f (ct) \} och = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} f (ct) e ^ {{- i \ omega t}} {\ mathrm {d}} t, \ quad u = ct \\ och = {\ frac {1} {| c |}} \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty }} f (u) e ^ {{- i \ omega u / c}} {\ mathrm {d}} u \\ and = {\ frac {1} {| c |}} {\ hat {f}} \ vänster ({\ frac {\ omega} {c}} \ höger) \ slut {justerad}}$
6
Bestäm fouriertransformationen av en sammanslagning av två funktioner. Som med Laplace-transformen motsvarar faltning i verkligt utrymme multiplikation i Fourier-rymden.
- ${\ begin {align} {\ mathcal {f}} \ {f (t) * g (t) \} och = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} e ^ {{- i \ omega t}} {\ mathrm {d}} t \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} f (ty) g (y) {\ mathrm {d}} y, \ quad u = ty \\ och = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} e ^ {{- i \ omega (u + y)}} {\ mathrm {d}} u \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} f (u) g (y) {\ mathrm {d}} y \\ and = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty} } f (u) e ^ {{- i \ omega u}} {\ mathrm {d}} u \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} g (y) e ^ {{- i \ omega y}} {\ mathrm {d}} y \\ and = {\ hat {f}} (\ omega) {\ hat {g}} (\ omega) \ end {align}}$
7
Bestäm Fourier-transform av jämna och udda funktioner. Jämna och udda funktioner har särskilda symmetrier. Vi når dessa resultat med Eulers formel och förstå hur jämna och udda funktioner multipliceras.
- Fourier-transformationen av en jämn funktion fe (t) {\ displaystyle f_ {e} (t)} $F _ {{e}} (t)$ är också jämn, eftersom integralen är jämn i ω {\ displaystyle \ omega} $\omega$ på grund av cos⁡ωt. {\ Displaystyle \ cos \ omega t.} $\ cos \ omega t.$ Dessutom, om fe (t) {\ displaystyle f_ {e} (t)} $F _ {{e}} (t)$ är verklig, är dess Fourier-transformation också verklig.
  - ${\ begin {align} {\ mathcal {f}} \ {f _ {{e}} (t) \} och = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} f _ {{e} } (t) \ left (\ cos \ omega ti \ sin \ omega t \ right) {\ mathrm {d}} t \\ and = 2 \ int _ {{0}} ^ {{\ infty}} f_ { {e}} (t) \ cos \ omega t {\ mathrm {d}} t \ end {align}}$
- Fouriertransformationen av en udda funktion fo (t) {\ displaystyle f_ {o} (t)} $F _ {{o}} (t)$ är också udda, eftersom integralen är udda i ω {\ displaystyle \ omega} $\omega$ på grund av sin⁡ωt. {\ Displaystyle \ sin \ omega t.} $\ sin \ omega t.$ Om fo (t) {\ displaystyle f_ {o} (t)} dessutom $F _ {{o}} (t)$ är verklig, är dess Fourier-transformation rent imaginär.
  - ${\ begin {align} {\ mathcal {f}} \ {f _ {{o}} (t) \} och = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} f _ {{o} } (t) \ left (\ cos \ omega ti \ sin \ omega t \ right) {\ mathrm {d}} t \\ and = -2i \ int _ {{0}} ^ {{\ infty}} f_ {{o}} (t) \ sin \ omega t {\ mathrm {d}} t \ end {align}}$

Del 2 av 3: Fourier transforms

1
Ersätt funktionen i definitionen av Fourier-transform. Som med Laplace-transformen kan beräkning av Fourier-transformationen av en funktion göras direkt med definitionen. Vi använder exempelfunktionen f (t) = 1t2 + 1, {\ displaystyle f (t) = {\ frac {1} {t ^ {2} +1}},} $F (t) = {\ frac {1} {t ^ {{2}} + 1}},$ som definitivt uppfyller våra konvergenskriterier.
- ${\ mathcal {f}} \ left \ {{\ frac {1} {t ^ {{2}} + 1}} \ right \} = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty} } {\ frac {e ^ {{- i \ omega t}}} {t ^ {{2}} + 1}} {\ mathrm {d}} t$
2
Utvärdera integralen med alla möjliga medel. Denna integral motstår teknikerna för elementär kalkyl, men vi kan istället använda restteorin.
- För att använda rester skapar vi en kontur γ {\ displaystyle \ gamma} $\gamma$ bestående av en sammanfogning av den verkliga linjen och en halvcirkelformad båge i det nedre halvplanet som cirklar medurs. Målet är att visa att den verkliga integralen är lika med konturintegralen genom att visa att bågintegralen försvinner.
  - $\ oint _ {{\ gamma}} {\ frac {e ^ {{- i \ omega t}}} {t ^ {{2}} + 1}} {\ mathrm {d}} t = \ int _ { {- \ infty}} ^ {{\ infty}} {\ frac {e ^ {{- i \ omega t}}} {t ^ {{2}} + 1}} {\ mathrm {d}} t + \ int _ {{{\ text {arc}}}} {\ frac {e ^ {{- i \ omega t}}} {t ^ {{2}} + 1}} {\ mathrm {d}} t$
- Vi kan faktor som nämnaren visar att funktionen har enkla poler vid t ± = ± i. {\ Displaystyle t _ {\ pm} = \ pm i.} $T _ {{\ pm}} = \ pm i.$ Eftersom endast t - {\ displaystyle t _ {-}} $T _ {{-}}$ bifogas, vi kan använda restsatsen för att beräkna värdet på konturintegralen.
  - $\ operatorname {res} (f (t); - i) = {\ frac {e ^ {{- \ omega}}} {- 2i}}$
- Observera att eftersom vår kontur är medurs, finns det ytterligare ett negativt tecken.
  - $\ oint _ {{\ gamma}} {\ frac {e ^ {{- i \ omega t}}} {t ^ {{2}} + 1}} {\ mathrm {d}} t = -2 \ pi i \ cdot {\ frac {e ^ {{- \ omega}}} {- 2i}} = \ pi e ^ {{- \ omega}}$
- Lika viktigt är processen att visa att bågintegralen försvinner. Jordans lemma hjälper till i denna utvärdering. Medan lemmaet inte säger att integralen försvinner, binder den skillnaden mellan konturintegralen och den verkliga integralen. Vi tillämpar lemmet på det nedre halvplanet nedan för en funktion f (t) = e − iωtg (t), {\ displaystyle f (t) = e ^ {- i \ omega t} g (t),} $F (t) = e ^ {{- i \ omega t}} g (t),$ där ω > $\ omega> 0.$ 0. {\ Displaystyle $C = re ^ {{- i \ phi}}$ \ omega> 0.} Med parametreringen C = Re − iϕ {\ displaystyle C = Re ^ {- i \ phi}} där ϕ∈ [0, π], {\ displaystyle \ phi \ in [0, \ pi],} $\ phi \ i [0, \ pi],$ så föreskriver Jordans lemma följande gräns för integralen:
  - ${\ bigg |} \ int _ {{c}} f (t) {\ mathrm {d}} t {\ bigg |} \ leq {\ frac {\ pi} {\ omega}} \ max _ {{\ phi \ i [0, \ pi]}} g (re ^ {{- i \ phi}})$
- Nu är allt vi behöver göra att visa att g (t) {\ displaystyle g (t)} $G (t)$ försvinner i den stora R {\ displaystyle R} $R$ -gränsen, vilket är trivialt här eftersom funktionen faller av som 1 / R2. {\ displaystyle 1 / R ^ {2}.} $1 / r ^ {{2}}.$
  - $\ lim _ {{r \ to \ infty}} {\ frac {1} {(re ^ {{- i \ phi}}) ^ {{2}} + 1}} = 0$
- Vad är domänen för ω {\ displaystyle \ omega} $\omega$ i detta resultat? Som tidigare nämnts gäller Jordans lemma bara för ω> 0. {\ displaystyle \ omega> 0.} $\ omega> 0.$ Men när man upprepar denna beräkning genom att bifoga det övre halva planet, hitta resterna vid den andra polen och tillämpa Jordans lemma igen på se till att bågintegralen försvinner, resultatet blir πeω {\ displaystyle \ pi e ^ {\ omega}} $\ pi e ^ {{\ omega}}$ medan domänen för ω {\ displaystyle \ omega} $\omega$ kommer att vara de negativa realerna. Så det slutliga svaret är skrivet nedan.
  - ${\ mathcal {f}} \ left \ {{\ frac {1} {t ^ {{2}} + 1}} \ right \} = \ pi e ^ {{- | \ omega |}}$
3
Utvärdera Fourier-transformationen av den rektangulära funktionen. Den rektangulära funktionen rekt⁡ (t), {\ displaystyle \ operatorname {rect} (t),} $\ operatorname {rect} (t),$ eller enhetspulsen definieras som en bitvis funktion som är lika med 1 om −12 <t <12, {\ displaystyle - {\ frac {1} {2}} <t <{\ frac {1} {2}},} $- {\ frac {1} {2}} <t <{\ frac {1} {2}},$ och 0 överallt. Som sådan kan vi utvärdera integralen över just dessa gränser. Resultatet är kardinal sinusfunktion.
- ${\ begin {align} {\ mathcal {f}} \ {\ operatorname {rect} (t) \} and = \ int _ {{- 0,5}} ^ {{0,5}} e ^ {{ -i \ omega t}} {\ mathrm {d}} t \\ och = {\ frac {1} {i \ omega}} \ vänster (e ^ {{i \ omega / 2}} - e ^ {{ -i \ omega / 2}} höger) \\ och = {\ frac {2} {\ omega}} \ sin {\ frac {\ omega} {2}} \ slut {justerad}}$
- Om enhetspulsen förskjuts så att gränserna är 0 och 1, finns det också en imaginär komponent, vilket framgår av diagrammet ovan. Detta beror på att funktionen inte längre är jämn.
  - $\ int _ {{0}} ^ {{1}} e ^ {{- i \ omega t}} {\ mathrm {d}} t = {\ frac {\ sin \ omega} {\ omega}} + i \ left ({\ frac {\ cos \ omega -1} {\ omega}} \ höger)$
4
Utvärdera fouriertransformationen av den gaussiska funktionen. Den Gaussiska funktionen är en av få funktioner som är dess egen Fourier-transformation. Vi integrerar genom att fylla i torget.
- ${\ begin {align} {\ mathcal {f}} \ {e ^ {{- t ^ {{2}}}}} och = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} e ^ {{- t ^ {{2}}}} e ^ {{- i \ omega t}} {\ mathrm {d}} t \\ and = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{ \ infty}} e ^ {{- (t ^ {{2}} + i \ omega t- \ omega ^ {{2}} / 4+ \ omega ^ {{2}} / 4)}} {\ mathrm {d}} t \\ och = e ^ {{- \ omega ^ {{2}} / 4}} \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} e ^ {{- (t + i \ omega / 2) ^ {{2}}}} {\ mathrm {d}} t \\ och = {\ sqrt {\ pi}} e ^ {{- \ omega ^ {{2}} / 4 }} \ slut {justerad}}$

Sträckegenskapen som ses i Laplace-transformen har också en analog i Fourier-transformationen.

Del 3 av 3: distributioner

1
Utvärdera Fourier-transformationen av $e ^ {{iat}}$ . Om du har haft en viss exponering för Laplace-transformationer tidigare vet du att den exponentiella funktionen är den "enklaste" funktionen som har en Laplace-transformation. I fallet med Fourier-transform är denna funktion inte väluppfostrad eftersom modulens funktion inte tenderar att vara 0 som t → ∞. {\ Displaystyle t \ to \ infty.} $T \ till \ infty.$ Ändå ges dess Fourier-transform som delta-funktion.
- ${\ mathcal {f}} \ {e ^ {{iat}} \} = 2 \ pi \ delta (\ omega -a)$
- Den imaginära exponentiella oscillerar runt enhetscirkeln, förutom när $T = 0,$ där den exponentiella är lika med 1. Du kan tänka på bidrag från svängningarna som att avbryta sig för alla $T \ neq 0.$ Vid $T = 0,$ avviker sedan integralen i funktionen. Deltafunktionen används sedan för att modellera detta beteende.
- Detta resultat ger oss Fourier-omvandlingen av tre andra funktioner "gratis". Fourier-transformationen av den konstanta funktionen erhålls när vi ställer in a = 0. {\ displaystyle a = 0.} $A = 0.$
  - ${\ mathcal {f}} \ {1 \} = 2 \ pi \ delta (\ omega)$
- Fourier-transformationen av delta-funktionen är helt enkelt 1.
  - ${\ mathcal {f}} \ {\ delta (t) \} = 1$
- Med Eulers formel får vi Fourier-transformationer av cosinus- och sinusfunktionerna.
  - ${\ mathcal {f}} \ {\ cos at \} = \ pi (\ delta (\ omega -a) + \ delta (\ omega + a))$
  - ${\ mathcal {f}} \ {\ sin at \} = - i \ pi (\ delta (\ omega -a) - \ delta (\ omega + a))$
2
Utvärdera Fourier-transformationen av $t ^ {{n}} e ^ {{iat}}$ . Vi kan använda skiftegenskapen för att beräkna Fourier- krafttransformer, och därmed alla polynomer. Observera att detta involverar beräkningsderivat av delta-funktionen.
- ${\ mathcal {f}} \ {t ^ {{n}} e ^ {{iat}} \} = 2 \ pi i ^ {{n}} {\ frac {{\ mathrm {d}} ^ {{ n}}} {{\ mathrm {d}} \ omega ^ {{n}}}} \ delta (\ omega -a)$
3
Utvärdera Fourier-transformationen av heaviside-stegfunktionen. Heaviside-funktionen Θ (t) {\ displaystyle \ Theta (t)} $\ theta (t)$ är funktionen som är lika med 0 {\ displaystyle 0} ${\ displaystyle 0}$ för negativ t {\ displaystyle t} $T$ och 1 {\ displaystyle 1} $1$ för positiv t. {\ Displaystyle t.} $T.$ Som med delta-funktionen har Θ (t) {\ displaystyle \ Theta (t)} $\ theta (t)$ inte en Fourier-transformation i vanlig mening eftersom Θ (t) {\ displaystyle \ Theta (t)} $\ theta (t)$ inte är helt integrerbar. Om vi ignorerar denna varning kan vi skriva ut dess Fourier-transformation genom naivt gör integralen.
- ${\ mathcal {f}} \ {\ theta (t) \} = \ int _ {{0}} ^ {{\ infty}} e ^ {{- i \ omega t}} {\ mathrm {d}} t = {\ frac {e ^ {{- i \ omega t}}} {- i \ omega}} {\ bigg |} _ {{0}} ^ {{\ infty}} = {\ frac {1} {i \ omega}}$
- För att förstå detta svar vädjar vi till invändningar. Derivatet av en sammanslagning av två funktioner ges nedan. Observera att detta inte är produktregeln för vanliga derivat.
  - ${\ frac {{\ mathrm {d}}} {{\ mathrm {d}} t}} (f (t) * g (t)) = f '* g = f * g'$
- Sedan ser vi att sammanslagningen av derivatet av en absolut integrerbar funktion f (t) {\ displaystyle f (t)} $Med)$ med Θ (t) {\ displaystyle \ Theta (t)} $\ theta (t)$ kan skrivas på följande sätt. Detta innebär också den viktiga relationen Θ ′ (t) = δ (t). {\ Displaystyle \ Theta '(t) = \ delta (t).} $\ theta '(t) = \ delta (t).$
  - ${\ begin {align} f '(t) * \ theta (t) och = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} f' (y) \ theta (ty) {\ mathrm { d}} y \\ och = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{t}} f '(y) {\ mathrm {d}} y = f (t) \ end {align}}$
  - ${\ mathcal {f}} \ {f '(t) * \ theta (t) \} = {\ hat {f}} (\ omega) = {\ hat {f}}' (\ omega) {\ hat {\ theta}} (\ omega) = i \ omega {\ hat {f}} (\ omega) {\ hat {\ theta}} (\ omega)$
- I den meningen kan vi då dra slutsatsen att ${\ mathcal {f}} \ {\ theta (t) \} = {\ frac {1} {i \ omega}}.$

Läs också: Hur konverterar man kubikfot till m3?

Tips

Det finns två andra vanliga konventioner för Fourier-transformationen.
- Vissa författare definierar Fourier-transformen för att dela upp faktorn $2 \ pi$ jämnt mellan integralerna.
- Resultatet är en större symmetri mellan transformerna.
  - ${\ hat {f}} (\ omega) = {\ frac {1} {{\ sqrt {2 \ pi}}}} \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} f (t) e ^ {{- i \ omega t}} {\ mathrm {d}} t$
  - $F (t) = {\ frac {1} {{\ sqrt {2 \ pi}}}} \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} {\ hat {f}} (\ omega) e ^ {{i \ omega t}} {\ mathrm {d}} \ omega$
- Andra använder den normala frekvensvariabeln ξ, {\ displaystyle \ xi,} $\ xi,$ som är relaterad till vinkelfrekvensen med ω = 2πξ. {\ Displaystyle \ omega = 2 \ pi \ xi.} $\ omega = 2 \ pi \ xi.$
  - ${\ hat {f}} (\ xi) = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} f (t) e ^ {{- i2 \ pi \ xi t}} {\ mathrm { d}} t$
  - $F (t) = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} {\ hat {f}} (\ xi) e ^ {{i2 \ pi \ xi t}} {\ mathrm {d }} \ xi$