Hur löser jag kvadratrotproblem?

För att lösa kvadratrotproblem, förstå att du hittar det nummer som, när det multipliceras med sig själv, är lika med antalet i kvadratroten.

Medan den skrämmande synen på en kvadratrotsymbol kan göra att den matematiskt utmanade krympen är kvadratrotproblem inte så svåra att lösa som de först kan verka. Enkla kvadratrotproblem kan ofta lösas lika enkelt som grundläggande multiplikations- och delningsproblem. Mer komplexa kvadratrotproblem kan å andra sidan kräva lite arbete, men med rätt tillvägagångssätt kan även dessa vara enkla. Börja öva kvadratrotproblem idag för att lära dig denna radikala nya matematiska skicklighet!

Del 1 av 3: förstå kvadrater och kvadratrötter

1
Kvadrera ett tal genom att multiplicera det med sig själv. För att förstå kvadratrötter är det bäst att börja med rutor. Kvadrater är enkla - att ta kvadraten i ett tal multiplicerar det bara med sig själv. Till exempel är 3 i kvadrat samma som 3 × 3 = 9 och 9 i kvadrat är samma som 9 × 9 = 81. Kvadrater skrivs genom att markera ett litet "2" ovan och till höger om numret som är kvadrat - så här: 3², 9², 100², och så vidare.
- Försök att kvadrera några fler siffror på egen hand för att testa detta koncept. Kom ihåg att kvadrera ett tal multiplicerar det bara med sig själv. Du kan till och med göra detta för negativa siffror. Om du gör det kommer svaret alltid att vara positivt. Till exempel -8² = -8 × -8 = 64.
2
För kvadratrötter, hitta "omvänd" av en kvadrat. Kvadratrotsymbolen (√, även kallad en "radikal" -symbol) betyder i princip "motsatsen" till ^2- symbolen. När du ser en radikal vill du fråga dig själv, "vilket nummer kan multiplicera av sig själv för att ge antalet under radikalen?" Om du till exempel ser √ (9) vill du hitta det antal som kan kvadreras för att göra nio. I det här fallet är svaret tre, eftersom 3² = 9.
- Som ett annat exempel, låt oss hitta kvadratroten på 25 (√ (25)). Det betyder att vi vill hitta antalet som kvadrerar för att göra 25. Eftersom 5² = 5 × 5 = 25 kan vi säga att √ (25) = 5.
- Du kan också tänka på detta som att "ångra" en kvadrat. Om vi till exempel vill hitta √ (64), kvadratroten av 64, låt oss börja med att tänka på 64 som 8². Eftersom en kvadratrotsymbol i princip "avlägsnar" en kvadrat kan vi säga att √ (64) = √ (8²) = 8.
3
Lär känna skillnaden mellan perfekta och ofullkomliga rutor. Fram till nu har svaren på våra kvadratrotproblem varit fina, runda siffror. Detta är inte alltid fallet - faktiskt kan kvadratrotproblem ibland ha svar som är mycket långa, obekväma decimaler. Tal som har kvadratrötter som är heltal (med andra ord tal som inte är bråk eller decimaler) kallas perfekta kvadrater. Alla exemplen ovan (9, 25 och 64) är perfekta rutor för när vi tar deras kvadratrötter får vi heltal (3, 5 och 8).
- Å andra sidan kallas siffror som inte ger heltal när du tar deras kvadratrötter ofullkomliga rutor. När du tar en av dessa siffrors kvadratrötter får du vanligtvis en decimal eller bråkdel. Ibland kan decimalerna vara ganska röriga. Till exempel √ (13) = 3,605551275464...
4
Kom ihåg de första 10-12 perfekta rutorna. Som du säkert har märkt kan det vara ganska enkelt att ta kvadratroten av perfekta rutor! Eftersom dessa problem är så enkla är det värt din tid att memorera kvadratrötterna från det första dussinet eller så perfekta rutorna. Du kommer att stöta på dessa siffror mycket, så att ta dig tid att lära dig dem tidigt kan spara mycket tid på lång sikt. De första 12 perfekta rutorna är:
- 1² = 1 × 1 = 1
- 2² = 2 × 2 = 4
- 3² = 3 × 3 = 9
- 4² = 4 × 4 = 16
- 5² = 5 × 5 = 25
- 6² = 6 × 6 = 36
- 7² = 7 × 7 = 49
- 8² = 8 × 8 = 64
- 9² = 9 × 9 = 81
- 10² = 10 × 10 = 100
- 11² = 11 × 11 = 121
- 12² = 12 × 12 = 144
Eftersom en kvadratrotsymbol i princip "avbryter" en kvadrat kan vi säga att √ (64) = √ (82) = 8.
5
Förenkla kvadratrötter genom att ta bort perfekta rutor när det är möjligt. Att hitta kvadratrötterna till ofullkomliga rutor kan ibland vara lite smärtsamt - speciellt om du inte använder en miniräknare (i avsnitten nedan hittar du knep för att underlätta denna process). Det är dock ofta möjligt att förenkla siffrorna i kvadratrötter för att göra dem lättare att arbeta med. För att göra detta behöver du helt enkelt separera numret under radikalen i dess faktorer, sedan ta kvadratroten av alla faktorer som är perfekta rutor och skriva svaret utanför radikalen. Detta är enklare än det låter - läs vidare för mer information!
- Låt oss säga att vi vill hitta kvadratroten på 900. Vid första anblicken ser det väldigt svårt ut! Det är dock inte svårt om vi delar in 900 i dess faktorer. Faktorer är de siffror som kan multipliceras tillsammans för att skapa ett annat tal. Till exempel, eftersom du kan göra 6 genom att multiplicera 1 × 6 och 2 × 3, är faktorerna 6 6, 1, 2, 3 och 6.
- Istället för att arbeta med siffran 900, vilket är något besvärligt, låt oss istället skriva 900 som 9 × 100. Nu, eftersom 9, som är ett perfekt kvadrat, är åtskilt från 100, kan vi ta dess kvadratrot på egen hand. √ (9 × 100) = √ (9) × √ (100) = 3 × √ (100). Med andra ord, √ (900) = 3√ (100).
- Vi kan till och med förenkla dessa två steg ytterligare genom att dela 100 i faktorerna 25 och 4. √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. Så, vi kan säg att √ (900) = 3 (10) = 30.
6
Använd imaginära tal för kvadratrötterna till negativa tal. Tänk - vilket antal gånger i sig är lika med -16? Det är inte 4 eller -4 - att kvadrera någon av dessa ger positivt 16. Ge upp? Det finns faktiskt inte ett sätt att skriva kvadratroten av -16 eller något annat negativt tal med vanliga siffror. I dessa fall måste vi ersätta imaginära siffror (vanligtvis i form av bokstäver eller symboler) för att ta platsen för det negativa talets kvadratrot. Till exempel används variabeln "i" vanligtvis för kvadratroten -1. Som en allmän regel kommer kvadratroten av ett negativt tal alltid att vara ett imaginärt tal (eller inkludera ett).
- Observera att även om imaginära siffror inte kan representeras med vanliga siffror, kan de fortfarande behandlas som vanliga siffror på många sätt. Till exempel kan kvadratrötterna av negativa tal kvadreras för att ge dessa negativa tal, precis som alla andra kvadratrot. Till exempel, jag ² = -1

Del 2 av 3: Använda långa division-algoritmer

1
Ordna ditt kvadratrotproblem som ett långuppdelningsproblem. Även om det kan vara lite tidskrävande är det möjligt att lösa kvadratrötterna till svåra ofullkomliga rutor utan en räknare. För att göra detta kommer vi att använda en lösningsmetod (eller algoritm) som liknar - men inte exakt samma - som grundläggande långdelning.
- Börja med att skriva ut ditt kvadratrotproblem på samma sätt som ett långuppdelningsproblem. Låt oss till exempel säga att vi vill hitta kvadratroten på 6,45, vilket definitivt inte är ett bekvämt perfekt kvadrat. Först skulle vi skriva en vanlig radikal symbol (√) och sedan skriva vårt nummer under den. Därefter skulle vi göra en rad ovanför vårt nummer så att den ligger i en liten "ruta" - precis som i lång division. När vi är klara borde vi ha en långsidig "√" -symbol med 6,45 skriven under.
- Vi kommer att skriva siffror ovanför vårt problem, så var noga med att lämna utrymme.
2
Gruppera siffror i par. För att börja lösa ditt problem, gruppera siffrorna i talet under radikaltecknet i par, med början på decimal. Du kanske vill göra små märken (som prickar, snedstreck, komma osv.) Mellan dina par för att hålla reda på dem.
- I vårt exempel delar vi 6,45 i par så här: 6- 0,45-00. Observera att det finns en "kvarvarande" siffra till vänster - det här är OK.
3
Hitta det största talet vars kvadrat är mindre än eller lika med den första "gruppen". Börja med det första numret eller paret till vänster. Välj det största numret med en kvadrat som är mindre än eller lika med "gruppen". Till exempel, om gruppen var 37, skulle du välja 6, eftersom 6² = 36 <37 men 7² = 49> 37. Skriv detta nummer ovanför den första gruppen. Det här är den första siffran i ditt svar.
- I vårt exempel är den första gruppen i 6- 0,45-00 6. Det största antalet som är mindre än eller lika med 6 när kvadrat är 2 - 2² = 4. Skriv ett "2" ovanför 6 under radikalen.
4
Fördubblar numret du just skrev ner och tappar sedan ner det och subtraherar det. Ta den första siffran i ditt svar (numret du just hittade) och dubbla det. Skriv detta under din första grupp och subtrahera för att hitta skillnaden. Släpp nästa par nummer ned bredvid svaret. Skriv slutligen den sista siffran på den dubbla av den första siffran i ditt svar till vänster och lämna ett mellanslag bredvid det.
- I vårt exempel skulle vi börja med att ta dubbelt av 2, den första siffran i vårt svar. 2 × 2 = 4. Därefter subtraherar vi 4 från 6 (vår första "grupp") och får 2 som vårt svar. Därefter skulle vi släppa ner nästa grupp (45) för att få 245. Slutligen skulle vi skriva 4 en gång till vänster och lämna ett litet utrymme att lägga till i slutet, så här: 4_.
Till exempel kan kvadratrötterna av negativa tal kvadreras för att ge dessa negativa tal, precis som alla andra kvadratrot.
5
Fyll det tomma utrymmet. Därefter vill du lägga till en siffra till höger om numret du har skrivit av till vänster. Välj den siffra som multipliceras med ditt nya nummer för att vara så stor som möjligt, men ändå mindre än eller lika med det "tappade" numret. Till exempel, om ditt "nedtappade" nummer är 1700 och ditt nummer till vänster är 40_, fyller du i tomt med "4" eftersom 404 × 4 = 1616 <1700, medan 405 × 5 = 2025. Det nummer du hitta i detta steg är den andra siffran i ditt svar, så du kan lägga till det ovanför radikaltecknet.
- I vårt exempel vill vi hitta numret som ska fyllas i blanken i 4_ × _ som gör svaret så stort som möjligt men ändå mindre än eller lika med 245. I det här fallet är svaret 5. 45 × 5 = 225, medan 46 × 6 = 276.
6
Fortsätt med dina "tomma" nummer för ditt svar. Fortsätt att utföra detta modifierade långdelningsmönster tills du börjar få nollor när du subtraherar från ditt "nedtappade" nummer eller når önskad noggrannhetsnivå. När du är klar utgör siffrorna du använde för att fylla blankorna i varje steg (plus det allra första numret du använde) siffrorna i ditt svar.
- Fortsätt från vårt exempel skulle vi subtrahera 225 från 245 för att få 20. Därefter släppte vi ner nästa par siffror, 00, för att göra 2000. Fördubbling av siffrorna ovanför radikaltecknet får vi 25 × 2 = 50. Lösning för tomt i 50_ × _ = / <2000 får vi 3. Vid denna punkt har vi "253" ovanför det radikala tecknet - upprepar denna process igen, vi får en 9 som nästa siffra.
7
Flytta decimalpunkten från din ursprungliga "utdelning". För att slutföra ditt svar måste du sätta dess decimal på rätt plats. Lyckligtvis är detta enkelt - allt du behöver göra är att ställa in det med decimaltecknet i ditt ursprungliga nummer. Till exempel, om numret under det radikala tecknet är 49,8, skulle du helt enkelt flytta punkten uppåt mellan de två siffrorna ovanför 9 och 8.
- I vårt exempel är siffran under det radikala tecknet 6,45, så vi skulle helt enkelt skjuta punkten uppåt och placera den mellan de två och fem siffrorna i vårt svar, vilket ger oss 2539.

Del 3 av 3: snabbt uppskatta ofullkomliga rutor

1
Hitta icke-perfekta rutor genom att uppskatta. När du väl har memorerat dina perfekta rutor blir det mycket lättare att hitta kvadratrötterna till ofullkomliga rutor. Eftersom du redan känner till ett dussin eller så perfekta rutor kan valfritt antal som faller mellan två av dessa perfekta kvadrater hittas genom att "piska bort" med en uppskattning mellan dessa värden. För att börja, hitta de två perfekta rutorna som ditt nummer är mellan. Bestäm sedan vilka av dessa två siffror det är närmast.
- Låt oss till exempel säga att vi måste hitta kvadratroten på 40. Eftersom vi har memorerat våra perfekta rutor kan vi säga att 40 ligger mellan 6² och 7², eller 36 och 49. Eftersom 40 är större än 6², dess kvadratrot kommer att vara större än 6, och eftersom det är mindre än 7² kommer dess kvadratrot att vara mindre än 7. 40 är lite närmare 36 än det är 49, så svaret kommer antagligen att vara lite närmare 6. I de närmaste stegen kommer vi att begränsa vårt svar.
2
Uppskatta kvadratroten till en decimal. När du väl har valt ut två perfekta rutor som ditt nummer är mellan, handlar det helt enkelt om att piska bort vid din uppskattning tills du når ett svar du är nöjd med - ju längre du går desto mer exakt är ditt svar. För att börja, välj decimalpunkten "tionde plats" för ditt svar - det behöver inte vara korrekt, men du sparar tid om du använder sunt förnuft för att välja en som ligger nära rätt svar.
- I vårt exempelproblem kan en rimlig uppskattning av kvadratroten på 40 vara 6,4, eftersom vi vet ovanifrån att svaret förmodligen ligger lite närmare 6 än det är 7.
Medan den skrämmande synen på en kvadratrotsymbol kan göra att den matematiskt utmanade krympen är kvadratrotproblem inte så svåra att lösa som de först kan verka.
3
Multiplicera din uppskattning själv. Därefter kvadrerar du din uppskattning. Om du inte har tur får du förmodligen inte ditt ursprungliga nummer - du kommer antingen att vara lite högre än det eller lite lägre. Om ditt svar är för högt, försök igen med en något mindre uppskattning (och tvärtom om det är för lågt).
- Multiplicera 6,4 i sig för att få 6,4 × 6,4 = 40,96, vilket är något högre än originalnumret.
- Därefter, eftersom vi överskridit vårt svar, kommer vi att multiplicera antalet en tiondel mindre än vår uppskattning av sig själv och få 6,3 × 6,3 = 39,69. Detta är något lägre än vårt ursprungliga nummer. Detta betyder att kvadratroten på 40 ligger någonstans mellan 6,3 och 6,4. Dessutom, eftersom 39,69 är närmare 40 än 40,96, vet du att kvadratroten kommer närmare 6,3 än 6,4.
4
Fortsätt uppskatta efter behov. Vid denna punkt, om du är nöjd med dina svar, kanske du bara vill använda en av dina första gissningar som en uppskattning. Men om du vill ha ett mer exakt svar är allt du behöver göra att välja en uppskattning för din "hundradelsplats" som placerar denna uppskattning mellan dina första två. Fortsätter du med detta mönster kan du få tre decimaler för ditt svar, fyra och så vidare - det beror bara på hur långt du vill gå.
- I vårt exempel, låt oss välja 6,33 för vår uppskattning med två decimaler. Multiplicera 6,33 för sig för att få 6,33 × 6,33 = 40,0689. Eftersom detta är något över vårt ursprungliga nummer kommer vi att försöka ett något lägre nummer, som 6,32. 6,32 × 6,32 = 39,9424. Detta är något under vårt ursprungliga nummer, så vi vet att den exakta kvadratroten ligger mellan 6,33 och 6,32. Om vi ville fortsätta skulle vi fortsätta använda samma tillvägagångssätt för att få ett svar som är ständigt mer och mer exakt.

Tips

Använd en miniräknare för snabba lösningar. De flesta moderna miniräknare kan direkt hitta kvadratrötter. Vanligtvis är allt du behöver göra att helt enkelt skriva in ditt nummer och sedan trycka på knappen med kvadratrotsymbolen. För att hitta kvadratroten på 841, till exempel, kan du trycka på: 8, 4, 1, (√) och få svaret 29.

Läs också: Hur blir man bättre på algebra?

Hur löser jag kvadratrotproblem?

Steg

Del 1 av 3: förstå kvadrater och kvadratrötter

Del 2 av 3: Använda långa division-algoritmer

Del 3 av 3: snabbt uppskatta ofullkomliga rutor

Tips

Frågor och svar

Läs också: