Hur hittar jag det maximala eller minsta värdet för en kvadratisk funktion enkelt?

Slutligen ansluter du x-värdet till funktionen för att hitta värdet på f (x), vilket är lägsta eller maximala värdet för funktionen.

Av olika anledningar kan du behöva kunna definiera det maximala eller minsta värdet för en vald kvadratisk funktion. Du kan hitta max eller minimum om din ursprungliga funktion är skriven i allmän form, $F (x) = ax ^ {2} + bx + c$ , eller i standardform, $F (x) = a (xh) ^ {2} + k$ . Slutligen kanske du också vill använda någon grundläggande kalkyl för att definiera max eller minimum för en kvadratisk funktion.

Metod 1 av 3: börjar med den allmänna formen av funktionen

1
Ställ in funktionen i allmän form. En kvadratisk funktion är en som har en x2 {\ displaystyle x ^ {2}} $X ^ {2}$ term. Den kan innehålla eller inte innehålla en x {\ displaystyle x} $X$ term utan en exponent. Det finns inga exponenter större än 2. Den allmänna formen är f (x) = ax2 + bx + c {\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c} $F (x) = ax ^ {2} + bx + c$ . Kombinera vid behov liknande termer och ordna om för att ställa in funktionen i denna allmänna form.
- Antag till exempel att du börjar med f (x) = 3x + 2x − x2 + 3x2 + 4 {\ displaystyle f (x) = 3x + 2x-x ^ {2} + 3x ^ {2} +4} $F (x) = 3x + 2x-x ^ {2} + 3x ^ {2} +4$ . Kombinera termerna x2 {\ displaystyle x ^ {2}} och $X ^ {2}$ termerna x {\ displaystyle x} för $X$ att få följande i allmän form:
  - $F (x) = 2x ^ {2} + 5x + 4$
2
Bestäm riktningen för diagrammet. En kvadratisk funktion resulterar i grafen för en parabel. Parabolen öppnas antingen uppåt eller nedåt. Om en {\ displaystyle a} $A$ , koefficienten för x2 {\ displaystyle x ^ {2}} $X ^ {2}$ , är positiv, öppnas parabolen uppåt. Om en {\ displaystyle a} $A$ är negativ, öppnas parabolen nedåt. Titta på följande exempel:
- För $F (x) = 2x ^ {2} + 4x-6$ , $A = 2$ så att parabolen öppnas uppåt.
- För $F (x) = - 3x ^ {2} + 2x + 8$ , $A = -3$ så att parabolen öppnas nedåt.
- För $F (x) = x ^ {2} +6$ , $A = 1$ så att parabolen öppnas uppåt.
- Om parabolen öppnas uppåt hittar du dess minimivärde. Om parabolen öppnas nedåt hittar du dess maximala värde.
3
Beräkna -b / 2a. Värdet av −b2a {\ displaystyle - {\ frac {b} {2a}}} $- {\ frac {b} {2a}}$ berättar x {\ displaystyle x} $X$ -värdet för parabollens topp. När den kvadratiska funktionen är skriven i sin allmänna form av ax2 + bx + c {\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c} $Ax ^ {2} + bx + c$ , använd koefficienterna för x {\ displaystyle x} $X$ och x2 {\ displaystyle x ^ {2 }} $X ^ {2}$ termer enligt följande:
- För en funktion f (x) = x2 + 10x − 1 {\ displaystyle f (x) = x ^ {2} + 10x-1} $F (x) = x ^ {2} + 10x-1$ , a = 1 {\ displaystyle a = 1} $A = 1$ och b = 10 {\ displaystyle b = 10} $B = 10$ . Hitta därför x-värdet för toppunktet som:
  - $X = - {\ frac {b} {2a}}$
  - $X = - {\ frac {10} {(2) (1)}}$
  - $X = - {\ frac {10} {2}}$
  - $X = -5$
- Som ett andra exempel, överväg funktionen f (x) = - 3x2 + 6x − 4 {\ displaystyle f (x) = - 3x ^ {2} + 6x-4} $F (x) = - 3x ^ {2} + 6x-4$ . I det här exemplet är a = −3 {\ displaystyle a = -3} $A = -3$ och b = 6 {\ displaystyle b = 6} $B = 6$ . Hitta därför x-värdet för toppunktet som:
  - $X = - {\ frac {b} {2a}}$
  - $X = - {\ frac {6} {(2) (- 3)}}$
  - $X = - {\ frac {6} {- 6}}$
  - $X = - (- 1)$
  - $X = 1$
Funktionens lägsta eller maximala värde är värdet för den valda positionen.
4
Hitta motsvarande f (x) -värde. Sätt in värdet på x som du just beräknat i funktionen för att hitta motsvarande värde på f (x). Detta kommer att vara lägsta eller högsta för funktionen.
- För det första exemplet ovan, f (x) = x2 + 10x − 1 {\ displaystyle f (x) = x ^ {2} + 10x-1} $F (x) = x ^ {2} + 10x-1$ , beräknade du x-värdet för toppunkten till att vara x = −5 {\ displaystyle x = -5} $X = -5$ . Ange −5 {\ displaystyle -5} $-5$ i stället för x {\ displaystyle x} $X$ i funktionen för att hitta det maximala värdet:
  - $F (x) = x ^ {2} + 10x-1$
  - ${\ displaystyle f (-5) = (- 5) ^ {2} +10 (-5) -1}$
  - ${\ displaystyle f (-5) = 25-50-1}$
  - ${\ displaystyle f (-5) = - 26}$
- För det andra exemplet ovan, f (x) = - 3x2 + 6x − 4 {\ displaystyle f (x) = - 3x ^ {2} + 6x-4} $F (x) = - 3x ^ {2} + 6x-4$ , hittade du att toppunkten var vid x = 1 {\ displaystyle x = 1} $X = 1$ . Infoga 1 {\ displaystyle 1} $1$ i stället för x {\ displaystyle x} $X$ i funktionen för att hitta det maximala värdet:
  - $F (x) = - 3x ^ {2} + 6x-4$
  - ${\ displaystyle f (1) = - 3 (1) ^ {2} +6 (1) -4}$
  - ${\ displaystyle f (1) = - 3 + 6-4}$
  - $F (1) = - 1$
5
Rapportera dina resultat. Granska den fråga du har ställts. Om du blir ombedd att ange koordinaterna för toppunkten måste du rapportera både x {\ displaystyle x} $X$ och y {\ displaystyle y} $Y$ (eller f (x) {\ displaystyle f (x)} $F (x)$ ). Om du bara tillfrågas om maximalt eller minimalt behöver du bara rapportera värdet y {\ displaystyle y} $Y$ (eller f (x) {\ displaystyle f (x)} $F (x)$ ). Se tillbaka till värdet på a {\ displaystyle a} $A$ -koefficienten för att vara säker på om du har ett maximum eller ett minimum.
- För det första exemplet, $F (x) = x ^ {2} + 10x-1$ , är värdet på $A$ positivt, så du blir rapporterar minimivärdet. Toppunkten är vid $(-5, -26)$ och minimivärdet är $-26$ .
- För det andra exemplet, $F (x) = - 3x ^ {2} + 6x-4$ , är värdet för $A$ negativt, så du kommer att rapportera det maximala värdet. Toppunkten är vid $(1, -1)$ och det maximala värdet är $-1$ .

Metod 2 av 3: använder standard- eller vertexformen

1
Skriv din kvadratiska funktion i standard- eller vertexform. Standardformen för en allmän kvadratisk funktion, som också kan kallas vertexformen, ser ut så här:
- $F (x) = a (xh) ^ {2} + k$
- Om din funktion redan ges till dig i det här formuläret behöver du bara känna igen variablerna $A$ , $H$ och $K$ . Om din funktion börjar i den allmänna formen $F (x) = ax ^ {2} + bx + c$ , måste du fylla i rutan för att skriva om den i vertexform.
- För att se hur du fyller i torget, se Fyll i torget.
2
Bestäm riktningen för diagrammet. Precis som med en kvadratisk funktion skriven i dess allmänna form, kan du berätta riktningen för parabolen genom att titta på koefficienten a {\ displaystyle a} $A$ . Om en {\ displaystyle a} $A$ i denna standardform är positiv, öppnas parabolen uppåt. Om en {\ displaystyle a} $A$ är negativ, öppnas parabolen nedåt. Titta på följande exempel:
- För $F (x) = 2 (x + 1) ^ {2} -4$ , $A = 2$ , vilket är positivt, så parabolen öppnas uppåt.
- För $F (x) = - 3 (x-2) ^ {2} +2$ , $A = -3$ , vilket är negativt, så parabolen öppnas nedåt.
- Om parabolen öppnas uppåt hittar du dess minimivärde. Om parabolen öppnas nedåt hittar du dess maximala värde.
3
Identifiera minimi- eller maximivärdet. När funktionen är skriven i standardform är det lika enkelt att hitta minimi- eller maximivärdet som att ange värdet på variabeln k {\ displaystyle k} $K$ . För de två exempelfunktionerna ovan är dessa värden:
- För $F (x) = 2 (x + 1) ^ {2} -4$ , $K = -4$ . Detta är funktionens minimivärde eftersom denna parabel öppnas uppåt.
- För $F (x) = - 3 (x-2) ^ {2} +2$ , $K = 2$ . Detta är det maximala värdet för funktionen, eftersom denna parabel öppnas nedåt.
Av olika anledningar kan du behöva kunna definiera det maximala eller minsta värdet för en vald kvadratisk funktion.
4
Hitta toppunkten. Om du tillfrågas om koordinaterna för minimi- eller maximivärdet blir punkten (h, k) {\ displaystyle (h, k)} $(h, k)$ . Observera dock att i standardformen för ekvationen är termen inom parentes (x − h) {\ displaystyle (xh)} $(xh)$ , så du behöver det motsatta tecknet på det tal som följer x {\ displaystyle x} $X$ .
- För $F (x) = 2 (x + 1) ^ {2} -4$ är termen inom parentes (x + 1), vilket kan skrivas om som (x - (- 1)). Således är $H = -1$ . Därför är koordinaterna för toppunkten för denna funktion $(-1, -4)$ .
- För $F (x) = - 3 (x-2) ^ {2} +2$ är termen inom parentes (x-2). Därför är $H = 2$ . Koordinaterna för toppunkten är (2, 2).

Metod 3 av 3: Använd kalkyl för att härleda minsta eller högsta

1
Börja med den allmänna formen. Skriv din kvadratiska funktion i allmän form, f (x) = ax2 + bx + c {\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c} $F (x) = ax ^ {2} + bx + c$ . Om det behövs kan du behöva kombinera liknande termer och ordna om för att få rätt form.
- Börja med provfunktionen $F (x) = 2x ^ {2} -4x + 1$ .
2
Använd kraftregeln för att hitta det första derivatet. Med grundläggande förstaårsberäkning kan du hitta det första derivatet av den allmänna kvadratiska funktionen att vara f ′ (x) = 2ax + b {\ displaystyle f ^ {\ prime} (x) = 2ax + b} $F ^ {{\ prime}} (x) = 2ax + b$ .
- För exempelfunktionen f (x) = 2x2−4x + 1 {\ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} -4x + 1} $F (x) = 2x ^ {2} -4x + 1$ , hitta derivatet som:
  - $F ^ {{\ prime}} (x) = 4x-4$
3
Ställ derivatet lika med noll. Kom ihåg att derivat av en funktion talar om lutningen för funktionen vid den valda punkten. Minsta eller högsta för en funktion uppstår när lutningen är noll. Därför, för att hitta var minimum eller maximum inträffar, ställ derivatet lika med noll. Fortsätt med provproblemet ovanifrån:
- $F ^ {{\ prime}} (x) = 4x-4$
- $0 = 4x-4$
4
Lös i x. Använd grundläggande regler för algebra för att ordna om funktionen och lösa värdet för x, när derivatet är lika med noll. Denna lösning berättar x-koordinaten för funktionens topp, det är där maximalt eller minimalt kommer att inträffa.
- $0 = 4x-4$
- $4 = 4x$
- $1 = x$
För att hitta det maximala eller minsta värdet för en kvadratisk funktion, börja med funktionens allmänna form och kombinera liknande termer.
5
Infoga det lösta värdet av x i den ursprungliga funktionen. Funktionens lägsta eller högsta värde är värdet för f (x) {\ displaystyle f (x)} $F (x)$ vid vald x {\ displaystyle x} $X$ -position. Sätt in ditt värde på x {\ displaystyle x} $X$ i originalfunktionen och lösa för att hitta minsta eller högsta.
- För funktionen f (x) = 2x2−4x + 1 {\ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} -4x + 1} $F (x) = 2x ^ {2} -4x + 1$ vid x = 1 {\ displaystyle x = 1} $X = 1$ ,
  - $F (1) = 2 (1) ^ {2} -4 (1) +1$
  - $F (1) = 2-4 + 1$
  - $F (1) = - 1$
6

Rapportera din lösning. Lösningen ger dig topp- eller minimipunkten. För denna exempelfunktion, $F (x) = 2x ^ {2} -4x + 1$ , uppträder toppunkten vid $(1, -1)$ . Koefficienten $A$ är positiv, så funktionen öppnas uppåt. Därför är funktionens minimivärde y-koordinaten för toppunkten, vilket är $-1$ .