Hur börjar man arbeta med fortsatta bråk?

Går vidare in i att skapa kalkylarkanalys av fortsatta fraktioner — Nästa artikel i serien, Skapa ett XL-kalkylblad för fortsatta fraktioner, går vidare in i att skapa kalkylarkanalys av fortsatta fraktioner.

Fortsatta bråk är ett av sätten att se ett nummer; de lärs inte vanligtvis ut, men de kan visa djupa mönster och extraordinära symmetrier i siffror som annars är ganska saklösa när de representeras mer typiskt i olika baser, eller som fraktioner, decimaler, logaritmer, krafter eller helt enkelt ord. Den här artikeln visar en del av kraften i att lära sig att börja arbeta med fortsatta bråk, i ett Microsoft Excel-kalkylformat. Nästa artikel i serien, Skapa ett XL-kalkylblad för fortsatta fraktioner, går vidare in i att skapa kalkylarkanalys av fortsatta fraktioner.

Steg

Bli bekant med en bild av det grundläggande konceptet:

Metod 1 av 2: handledningen

1

Öppna ett nytt kalkylark i Microsoft Excel. I Inställningar, Allmänt, se till att rutan "Använd R1C1 referensstil " är avmarkerad så att kolumnerna representeras alfabetiskt.
2
Som ett exempel kan du konvertera 40/31 till en fortsatt bråkdel. Här är vad du behöver veta:
- Det är känt att 40/31 är större än 1, så 30331 + 31 kommer att vara det sista steget för 40/31;
- Varje steg är inverterat, så 30,11 blir nästa sista steg, dvs 20,78 = 3, så 3 + 0,44, endast för 40/31;
- 0,44 måste inverteras så det första steget blir 2,25, vilket är 2 + 0,25, för 40/31.
- Ange nummersekvensen 4, 2, 3, 1 i cellerna A1 till A4.
- Ange cell C2, 2 + 0,25
- Gå in i cell C3, 3 + 1 / (2 + 0,25) och lägg märke till hur informationen i cell C2 upprepades i nämnaren.
- Gå in i cell C4, 1 + 1 / (3 + 1 / (2 + 0,25)) och lägg märke till att det nu finns två nämnare och att informationen från både cell C3 och C2 användes i C4.
- Ange cell D2, 2,25
- Ange cell D3, 30,11
- Gå in i cell D4, 40/31 (vår objektiva fraktion!)
- Ange cell E3, 3 + 0,44
- Ange cell E4, 1 + 31 (30,331 + 31 = 40/31).
- Ange formeln i cell B1 utan citat, "= A1"
- Ange formeln i cellen B2 utan citat, "= A2 + 1 / B1"
- Ange formeln i cell B3 utan citat, "= A3 + 1 / B2"
- Ange formeln utan citationstecken i cell B4, "= A4 + 1 / B3"
- Bekräfta att resultatet av formeln i cell B4 är 1 299032258064516, om cellen är formaterad för 14 siffror att visa.
- Ange formeln i cell B6, utan citat, "= 40/31". Samma resultat borde uppstå.
- Kopiera cell C4 till cell C6 och klistra in den, sätt sedan in ett = tecken i början och tryck på retur. Samma resultat, 1 299032258064516, kommer att visas på grund av riktigheten hos den fortsatta fraktionen som just konstruerats.
3
Betrakta den kvadratiska ekvationen, ekvation [1]: x ^ 2 - bx - 1 = 0. Ramen för en fortsatt fraktion härleds från den.
- Genom att dela med x kan vi skriva om det som ekvation [2]: x = b + 1 / x
- Ersätt uttrycket för x från höger sida av denna ekvation för x i nämnaren på höger sida för att få ekvation [3]: x = b + 1 / (b + 1 / x)
- Fortsätt detta incestuösa förfarande på obestämd tid, för att producera en oändlig trappa med fraktioner som är en typsättares mardröm, ekvation [4] (vanligtvis fallande vertikalt med varje valörslinje och blir mindre och mindre i teckenstorlek):
  - x = b + 1 / (b + 1 / (b + 1 / (b +...)))
  - Denna trappa är ett exempel på en fortsatt bråkdel. Om vi återvänder till ekvation 1 kan vi helt enkelt lösa den kvadratiska ekvationen för att hitta den positiva lösningen för den ges av den fortsatta fraktionsexpansionen av ekvation 4; det är ekvation [5]: x = (b + sqrt (b ^ 2 +4)) / 2
- Plocka b = 1, generera den fortsatta fraktionsexpansionen av det gyllene medelvärdet, phi, som ekvation [6]:
  - Phi = (sqrt (5) +1) / 2 = 1 + 1 / (1 + 1 / (1 + 1 / (1 + 1 / (1 + 1 / (1 + 1 / (1 + 1 / (1+))) 1 / (1 + 1 / (1 + 1 / (1 + 1 / (1 +...)))))))))))
- Definiera en generell fortsatt bråkdel av ett tal som ekvation [7]:
  - a ₀ + 1 / (a ₁ + 1 / (a ₂ + 1 / (a ₃ + 1 / (1 +... + 1 / (a _n +...)))))
  - Där a _n = [a _(n)] är n + 1 positiva heltal, kallas de partiella kvoterna för den fortsatta fraktionsexpansionen (cfe).
Samma resultat, 1 299032258064516, kommer att visas på grund av riktigheten hos den fortsatta fraktionen som just konstruerats.
4

Skriv en expansion av formekvationen [7] som uttryck [8]: [a ₀; a ₁, a ₂, a ₃,..., a _n,...] för att undvika den besvärliga trappanotationen.
5
Bestäm hur lång en fortsatt fraktion kan vara. Fortsatta fraktioner kan vara ändliga eller oändliga, som i vårt exempel ovan. Finite CFE är unika så länge vi inte tillåter en kvot i den sista posten i parentes (ekvation 8), så vi ska till exempel skriva 0,5 som [0; 2] snarare än som [0; 11]. Vi kan alltid eliminera en 1 från den senaste posten genom att lägga till den tidigare posten.
- Om cfe är begränsade, måste de utvärderas nivå för nivå (börjar längst ner) och kommer alltid att reduceras till en rationell bråkdel. till exempel cfe 40/31 gjort ovan. Emellertid kan CFES vara oändlig i längd, som i ekvation 6 ovan. Oändliga kvisar producerar representationer av irrationella tal.
- Om vi gör några olika val för konstanten i ekvation 4 och 5 kan vi generera några andra intressanta utvidgningar för tal som är lösningar på kvadratisk ekvation. I själva verket har alla rötter av kvadratiska ekvationer med heltalskoefficienter, som ekvation 5, CFES som så småningom är periodiska, som [22,23,23,2,...] eller [21,14,41,14,11,4,...].
- Här är de ledande termerna från några anmärkningsvärda exempel på oändliga CFES:
  - e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10,...]
  - sqrt (2) = [1; 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2,...]
  - sqrt (3) = [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2,...]
  - π = [3; 7, 15, 1 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2. 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2,...]
6
Låt oss studera pi i synnerhet nu när man har lärt sig att fortsatta bråk avslöjar mycket mer än enkla decimalrepresentationer av samma tal. Nu när du ser hur det görs kan du fortsätta processen! Ha så kul!!
- I cell A8 använder du Alternativ + p för att skapa pi-symbolen, π. Gör den djärv och inriktad mitt.
- Ange formeln utan citationstecken i cell B8, "= PI ()". Gör Formatera celler Fyll Canary Yellow och Font Brandbil Red.
- Från cell A9 till cell A31, mata in siffrorna i pi-serien ovan, från [3; 7,..., 84, 2].
- Eftersom det första numret i serien, 3, följs av en semikolon, kommer det alltid att leda framsteget för den fortsatta fraktionen, till skillnad från exemplet 40/31.
- Gå in i cell C10, 3 + 0,14.
- Gå in i cell C11, 3 + 1 / (7+ (15)).
- Gå in i cell C12, 3 + 1 / (7+ (1 / (15 + 1 / (1))).
- Gå in i cell C13, 3 + 1 / (7+ (1 / (15 + 1 / (1 + 1 / (292)))))
- Gå in i cell D10, 20,29.
- Gå in i cell D11, 33306
- Gå in i cell D12, 35513.
- Gå in i cell D13, 1039913102.
- Gå in i cell E10, 20,14 + 0,14.
- Gå in i cell E11, 31806 + 1506
- Gå in i cell E12, 33913 +1613
- Gå in i cell E13, 993023102 + 4682,333102
- Ange till cell F13, eller gör en kommentar till cell E13 att 993023102 + 4682,333102 = (3 * ((7 * 4687) +293)) / ((7 * ((15 * 293) +292)) + 293) + (((15 * 293) +292)) / ((7 * ((15 * 293) +292)) + 293) där 4687 = ((15 * 293) +292).
- Resultatet av det = 3,1415926530119, mot π = 3,14159265358979, så det är en ganska bra uppskattning.
- Låt oss nu se om det finns ett enklare sätt. Du bör fortfarande ha serien med pi CFE i intervallet från [3; 7,..., 84, 2] i cellerna A9 till A31. Om inte, mata in dem och kontrollera dem nu.
7

Ange formeln i cell b31, utan citat, "= a30 + 1 / a31". Resultatet ska vara lika med 84,5
8

Ange formeln i cell b30, utan citat, "= a29 + 1 / b31". Resultatet ska motsvara 1 01183431952663

Den här artikeln visar en del av kraften i att lära sig att börja arbeta med fortsatta bråk, i ett Microsoft Excel-kalkylformat.
9

Kopiera cell b30 till cellintervall b10: b29. Resultatet i cell B10 ska vara 3,14159265358979 vilket är pi, exakt med 14 decimaler (vilket är lika bra som det blir i Microsoft Excel).
10
Om du vill kan du räkna ut cfe för varje cell från b31 till b10. Det kommer att ta lite tid och koncentration men du kommer att uppskatta arbetet hos mannen som tänkte på det 1685, John Wallis (Isaac Newtons lärare och samtida).
- För irrationella tal tittar vi på ett fraktalt uttryck. Observera att det krävs 23 rader från A9 till B31 för att få noggrannheten på 14 decimaler. Jag vet inte förhållandet mellan den ena till den andra, men det verkar som det är en ganska formidabel sätt för beräkning av pi ganska exakt. nb Om alla täljare i den fortsatta fraktionsexpansionen = 1 kallas den "kanonisk", annars kallas den "generaliserad". Följande konvergerande cfe för π generaliseras:
11

Kolla nu sqrt (2), sqrt (3), e och skapa dina egna mönster, vilket förmodligen är ganska spännande för några av er! Lycka till och ha kul!!
12

Spara kalkylbladet som tillvägagångssätt 1 eller liknande passande namn och spara filen som fortsatta bråk eller liknande filnamn.
13

Slutlig bild:

Metod 2 av 2: användbar vägledning

1
Använd hjälpartiklar när du fortsätter genom denna handledning:
- Se artikeln Hur man skapar en spiralformad spinnpartikelbana eller halsbandform eller sfärisk kant för en lista med artiklar relaterade till Excel, geometrisk och / eller trigonometrisk konst, diagram / diagram och algebraisk formulering.
- För fler konstdiagram och diagram kan du också klicka på Kategori: Microsoft Excel- bilder, Kategori: Matematik, Kategori: Kalkylark eller Kategori: Grafik för att se många Excel-kalkylblad och diagram där Trigonometri, Geometri och Calculus har förvandlats till konst, eller klicka bara på kategorin som visas i den övre högra vita delen av denna sida eller längst ner till vänster på sidan.

Kallas de partiella kvoterna för den fortsatta fraktionsexpansionen (cfe) — Definiera en generell fortsatt bråkdel av ett tal som ekvation [7]: Där an = [a (n)] är n + 1 positiva heltal, kallas de partiella kvoterna för den fortsatta fraktionsexpansionen (cfe).

Tips

Det kan vara en bra idé att lämna följande anteckning i ditt kalkylblad i cell C5: Lägg märke till att det slutliga resultatet av formuleringen är längst ner för ett rationellt tal som 40/31.
Det kan vara en bra idé att lämna följande anteckning i kalkylbladet i cell C22: Lägg märke till att det slutliga resultatet av formuleringen är högst upp för ett irrationellt tal som pi. Gör Format redigera celler Border och placera en fullständig röd ram runt och rött teckensnitt för informationen i cellerna C9: G18;
Ange formeln i cell G10, = 20,29. Ange formeln i cell G11, = 33306. Ange i cell G12 formeln = 35513. Ange formeln i cell G13, = 1039913102. Ange formeln i cell F12, = ((15 * 293) +292). Ange formeln i cell F13, = (3 * ((7 * 4687) +293)) / ((7 * ((15 * 293) +292)) + 293) + (((15 * 293) +292)) / ((7 * ((15 * 293) +292)) + 293). Ange formeln i cell F14 = 292. Ange formeln i cell F16 = PI () - 3,1415926530119 och formatera den med 14 decimaler. Ange formeln i cell F17, = (7 * 4687) +293. Ange formeln i cell F18 = 3 * F17.
Ange till cell C9, den här rutan gäller endast de fortsatta fraktionerna i kolumn C, inte för resultaten i kolumn B.
Gå in i cell C30 än den här. Och gå in i cell C31, den här formeln är annorlunda
Hela idén med Fortsatta fraktioner är baserad på Euclids algoritm för p / q.

Läs också: Hur lär jag mig om biologisk mångfald och matnät?