Hur faktor binomaler?

Hitta sedan den största gemensamma faktorn för båda termerna och dela sedan den största gemensamma faktorn från varje term.

I algebra är binomialer tvåtidsuttryck kopplade till ett plustecken eller minustecken, till exempel $Ax + b$ . Den första termen innehåller alltid en variabel, medan den andra termen kanske eller inte kan. Att faktorisera en binomial innebär att hitta enklare termer som, när de multipliceras tillsammans, producerar det binomiala uttrycket, vilket hjälper dig att lösa det eller förenkla det för vidare arbete.

Del 1 av 3: factoring binomialer

1
Granska grunderna för factoring. Factoring är när du bryter ett stort antal ned till IT: s enklaste delbart delar. Var och en av dessa delar kallas en "faktor". Så, till exempel, kan siffran 6 delas jämnt med fyra olika siffror: 1, 2, 3 och 6. Således är faktorerna 6 1, 2, 3 och 6.
- Faktorerna 32 är 1, 2, 4, 8, 16 och 32
- Både "1" och antalet du tar med är alltid faktorer. Så, faktorerna för ett litet antal, som 3, skulle helt enkelt vara 1 och 3.
- Faktorer är bara de helt delbara siffrorna eller "heltal". Du kan dela 32 med 3.564 eller 21.4952, men detta kommer inte att leda till en faktor, bara ytterligare ett decimal.
2
Placera binomialens villkor så att de blir lättare att läsa. En binomial är helt enkelt att addera eller subtrahera två nummer, varav åtminstone en innehåller en variabel. Ibland har dessa variabler exponenter, som x2 {\ displaystyle x ^ {2}} $X ^ {2}$ eller 5y4 {\ displaystyle 5y ^ {4}} $5 år ^ {4}$ . Vid första fakturering av binomialer kan det hjälpa att ordna ekvationer med stigande variabla termer, vilket betyder att den största exponenten är sist. Till exempel:
- $3t + 6$ → $6 + 3t$
- $3x ^ {4} + 9x ^ {2}$ → $9x ^ {2} + 3x ^ {4}$
- x2−2 {\ displaystyle x ^ {2} -2} $X ^ {2} -2$ → −2 + x2 {\ displaystyle -2 + x ^ {2}} $-2 + x ^ {2}$
  - Lägg märke till hur det negativa tecknet stannar framför 2. Om en term subtraheras, håll bara det negativa framför den.
3
Hitta den största gemensamma faktorn för båda termerna. Det betyder att du hittar högsta möjliga antal som båda delarna av binomialen är delbara med. Om du kämpar, faktorera bara båda siffrorna på egen hand och se vad det högsta matchande numret är. Till exempel:
- Övningsproblem $3t + 6$ : 3t + 6 {\ displaystyle 3t + 6}.
  - Faktorer 3: 1, 3
  - Faktorer 6: 1, 2, 3, 6.
  - Den största gemensamma faktorn är 3.
4
Dela upp den största gemensamma faktorn från varje term. När du väl känner till din gemensamma faktor måste du ta bort den från varje term. Observera dock att du helt enkelt bryter ner villkoren och gör varje term till ett litet uppdelningsproblem. Om du gjorde det rätt kommer båda ekvationerna att dela din faktor:
- $3t + 6$ : $3t + 6 {\ displaystyle 3t + 6}$ .
- Hitta den största gemensamma faktorn: 3
- Ta bort faktor från båda termerna: ${\ frac {3t} {3}} + {\ frac {6} {3}} = t + 2$
5
Multiplicera din faktor med det resulterande uttrycket för att avsluta. I det sista problemet tog du bort en 3 för att få t + 2 {\ displaystyle t + 2} $T + 2$ . Men du blev inte bara av med de tre helt utan att helt enkelt ta bort det för att förenkla saker. Du kan inte bara radera nummer utan att sätta tillbaka dem! Multiplicera din faktor med uttrycket för att äntligen avsluta. Till exempel:
- $Träningsproblem$ : $3t + 6$
- Hitta den största gemensamma faktorn: 3
- Ta bort faktor från båda termerna: ${\ frac {3t} {3}} + {\ frac {6} {3}} = t + 2$
- Flera faktorer med nytt uttryck: $3 (t + 2)$
- Slutligt svar: $3 (t + 2)$
6
Kontrollera ditt arbete genom att multiplicera allt tillbaka till den ursprungliga ekvationen. Om du gjorde allt korrekt bör det vara enkelt att kontrollera att du har rätt. Multiplicera helt enkelt din faktor med båda enskilda delarna inom parentes. Om den matchar den ursprungliga, ofabricerade binomialen, gjorde du allt korrekt. Lös $12t + 18$ uttrycket 12t + 18 {\ displaystyle 12t + 18} från början till slut för att öva:
- Omorganisera termer: $18 + 12t$
- Hitta den största gemensamma nämnaren: $6$
- Ta bort faktor från båda termerna: ${\ frac {18t} {6}} + {\ frac {12t} {6}} = 3 + 2t$
- Flera faktorer med nytt uttryck: $6 (3 + 2t)$
- Kontrollera svaret: $(6 * 3) + (6 * 2t) = 18 + 12t$

Om du vill lära dig att faktorera binomialer för att lösa ekvationer och svårare problem, läs vidare!

Del 2 av 3: factoring binomialer för att lösa ekvationer

1
Använd factoring för att förenkla ekvationer och göra dem enklare att lösa. När du löser en ekvation med binomialer, särskilt komplexa binomialer, kan det verka som om det inte går att matcha allt. Försök till exempel att lösa 5y − 2y2 = −3y {\ displaystyle 5y-2y ^ {2} = - 3y} $5y-2y ^ {2} = - 3y$ . Ett sätt att lösa det, särskilt med exponenter, är att faktor först.
- $Övningsproblem$ : $5y-2y ^ {2} = - 3y$
- Kom ihåg att binomialer endast måste ha två termer. Om det finns fler än två termer kan du lära dig att lösa polynom istället.
2
Lägg till och subtrahera så att ena sidan av ekvationen är lika med noll. Hela denna strategi bygger på en av de mest grundläggande fakta i matematik: allt multiplicerat med noll måste vara lika med noll. Så om du ekvationen är lika med noll, så måste en av dina beräknade termer vara lika med noll! För att komma igång, lägg till och subtrahera så att en sida är lika med noll.
- $Övningsproblem$ : $5y-2y ^ {2} = - 3y$
- Satt till noll: 5y − 2y2 + 3y = −3y + 3y {\ displaystyle 5y-2y ^ {2} + 3y = -3y + 3y} $5y-2y ^ {2} + 3y = -3y + 3y$
  - $8y-2y ^ {2} = 0$
3
Faktorera sidan som inte är noll precis som normalt. Vid den här tiden kan du låtsas att den andra sidan inte finns för ett steg. Hitta bara den största gemensamma faktorn, dela upp den och skapa sedan ditt fakturerade uttryck.
- $Övningsproblem$ : $5y-2y ^ {2} = - 3y$
- Satt till noll: $8y-2y ^ {2} = 0$
- Faktor: $2y (4-y) = 0$
4
Ställ in både inom och utanför parentesen lika med noll. I övningsproblemet multiplicerar du 2y med 4 - y, och den måste vara lika med noll. Eftersom allt multiplicerat med noll är lika med noll betyder detta antingen 2y eller 4 - y måste vara 0. Skapa två separata ekvationer för att räkna ut vad y måste vara för vardera sidan till lika med noll.
- $Övningsproblem$ : $5y-2y ^ {2} = - 3y$
- Satt till noll: $8y-2y ^ {2} + 3y = 0$
- Faktor: $2y (4-y) = 0$
- Ställ in båda delarna på 0:
  - $2y = 0$
  - $4-y = 0$
5
Lös båda ekvationerna för noll för att få ditt slutliga svar eller svar. Du kan ha ett svar eller mer än ett. Kom ihåg att endast en sida måste vara lika med noll, så du kan få några olika värden på y som löser samma ekvation. För slutet av träningsproblemet:
- 2y = 0 {\ displaystyle 2y = 0} $2y = 0$
  - ${\ frac {2y} {2}} = {\ frac {0} {2}}$
  - y = 0
- 4 − y = 0 {\ displaystyle 4-y = 0} $4-y = 0$
  - $4-y + y = 0 + y$
  - y = 4
6
Anslut dina svar igen så att de fungerar. Om du har rätt värden för y bör du kunna använda dem för att lösa ekvationen. Det är enkelt att prova varje värde på y i stället för variabeln, som visas. Eftersom svaret var y = 0 och y = 4:
- 5 (0) −2 (0) 2 = −3 (0) {\ displaystyle 5 (0) -2 (0) ^ {2} = - 3 (0)} $5 (0) -2 (0) ^ {2} = - 3 (0)$
  - $0 + 0 = 0$
  - $0 = 0$ Detta svar är korrekt
- 5 (4) −2 (4) 2 = −3 (4) {\ displaystyle 5 (4) -2 (4) ^ {2} = - 3 (4)} $5 (4) -2 (4) ^ {2} = - 3 (4)$
  - $20-32 = -12$
  - $-12 = -12$ här svaret är också korrekt.

Börja med att placera binomialens termer i stigande ordning för att göra det lättare att läsa — För att faktorera binomialer, börja med att placera binomialens termer i stigande ordning för att göra det lättare att läsa.

Del 3 av 3: hantering av svårare problem

1
Kom ihåg att variabler också räknas som faktorer, även med exponenter. Kom ihåg att factoring är att ta reda på vilka siffror som kan delas in i helheten. Uttrycket x4 {\ displaystyle x ^ {4}} $X ^ {4}$ är ett annat sätt att säga x ∗ x ∗ x ∗ x {\ displaystyle x * x * x * x} $X * x * x * x$ . Det betyder att du kan räkna ut varje x om den andra termen också har en. Behandla variabler som inte skiljer sig från ett normalt antal. Till exempel:
- $2t + t ^ {2}$ kan tas med, eftersom båda termerna innehåller en t. Ditt slutliga svar skulle vara $T (2 + t)$
- Du kan till och med dra ut flera variabler samtidigt. Till exempel, i $X ^ {2} + x ^ {4}$ innehåller båda termerna samma $X ^ {2}$ . Du kan faktor till $X ^ {2} (1 + x ^ {2})$
2
Känna igen oförenklade binomialer genom att kombinera liknande termer. Ta till exempel uttrycket 6 + 2x + 14 + 3x {\ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x} $6 + 2x + 14 + 3x$ . Det kan verka som om det har fyra termer, men titta noga och du kommer att inse att det egentligen bara finns två. Du kan lägga till likadana termer, och eftersom både 6 och 14 inte har någon variabel och 2x och 3x delar samma variabel, kan båda kombineras. Factoring är då enkelt:
- Ursprungligt problem: $6 + 2x + 14 + 3x$
- Omorganisera termer: $2x + 3x + 14 + 6$
- Kombinera liknande termer: $5x + 20$
- Hitta den största gemensamma faktorn: $5 (x) +5 (4)$
- Faktor: $5 (x + 4)$
3
Känn igen den speciella "skillnaden mellan perfekta kvadrater. " En perfekt kvadrat är ett tal vars kvadratrot är ett heltal, som 9 {\ displaystyle 9} $9$ (3 ∗ 3) {\ displaystyle (3 * 3)} $(3 * 3)$ , x2 {\ displaystyle x ^ {2}} $X ^ {2}$ (x ∗ x) {\ displaystyle (x * x)} $(x * x)$ eller till och med 144t2 {\ displaystyle 144t ^ {2}} $144t ^ {2}$ (12t ∗ 12t) {\ displaystyle (12t * 12t)} $(12t * 12t)$ Om din binomial är ett subtraktionsproblem med två perfekta rutor, som a2 − b2 {\ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}} $A ^ {2} -b ^ {2}$ , du kan helt enkelt ansluta dem till den här formeln:
- Skillnad mellan perfekta kvadratformler: $A ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (ab)$
- $Övningsproblem$ : $4x ^ {2} -9$
- Hitta kvadratrötter:
  - ${\ sqrt {4x ^ {2}}} = 2x$
  - ${\ sqrt {9}} = 3$
- Anslut rutor till formeln: $4x ^ {2} -9 = (2x + 3) (2x-3)$
4
Lär dig att dela upp "skillnaden mellan perfekta kuber. " Precis som de perfekta rutorna är detta en enkel formel för när du har två kubiserade termer subtraherade av varandra. Till exempel a3 − b3 {\ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3}} $A ^ {3} -b ^ {3}$ . Precis som tidigare hittar du helt enkelt den kubade roten till var och en och pluggar in dem i en formel:
- Skillnad mellan perfekta kuberformel: $A ^ {3} -b ^ {3} = (ab) (a ^ {2} + ab + b ^ {2})$
- $Övningsproblem$ : $8x ^ {3} -27$
- Hitta kubade rötter:
  - ${\ sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x$
  - ${\ sqrt [{3}] {27}} = 3$
- Anslut kuber till formeln: $8x ^ {3} -27 = (2x-3) (4x ^ {2} + 6x + 9)$
5
Vet att summan av perfekta kuber också passar i en formel. Till skillnad från skillnaden mellan perfekta rutor kan du enkelt hitta tillagda kuber också, som a3 + b3 {\ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3}} $A ^ {3} + b ^ {3}$ med en enkel formel. Det är nästan exakt samma som ovan, bara med några plus och minus vänt. Formeln är lika enkel som de andra två, och allt du behöver göra är att känna igen de två kuberna i problemet för att använda den:
- Summan av perfekta kuberformel: $A ^ {3} + b ^ {3} = (a + b) (a ^ {2} -ab + b ^ {2})$
- $Övningsproblem$ : $8x ^ {3} -27$
- Hitta kubade rötter:
  - ${\ sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x$
  - ${\ sqrt [{3}] {27}} = 3$
- Anslut kuber till formeln: $8x ^ {3} -27 = (2x + 3) (4x ^ {2} -6x + 9)$

Särskilt komplexa binomialer — När du löser en ekvation med binomialer, särskilt komplexa binomialer, kan det verka som om inget sätt matchar.

Tips

Inte alla binomialer har gemensamma faktorer! Vissa förenklas så långt som möjligt redan.
Om du är osäker på om det finns en gemensam faktor, dela med mindre delar. Om du till exempel inte känner igen att 16 är den gemensamma faktorn mellan 32 och 16, börja med att dela båda siffrorna med 2. Du har 16 och 8 kvar, som också kan delas med 8. Nu har du 2 och 1, de minsta faktorerna. Uppenbarligen finns det något större än både 8 och 2 som är en vanlig faktor.
Observera att en sjätte effekt (x ⁶) är både en perfekt fyrkant '' och '' en perfekt kub. Som sådan kan du tillämpa båda de speciella formlerna ovan, i endera ordningen, på ett binomium som är skillnaden mellan perfekta sjätte krafter, till exempel x ⁶ - 64. Det kan dock vara lättare att tillämpa skillnaden mellan perfekta kvadratformler först, så att du kan mer fullständigt faktorera binomialet.

Varningar

En binomial som är summan av perfekta rutor kan inte tas med i beräkningen.

Läs också: Hur multiplicerar du binomialer?

Hur faktor binomaler?

Steg

Del 1 av 3: factoring binomialer

Del 2 av 3: factoring binomialer för att lösa ekvationer

Del 3 av 3: hantering av svårare problem

Tips

Varningar

Frågor och svar

Läs också: