Hur plottar man polära koordinater?

1. 1
   Konstruera en cirkel med radie r {\ displaystyle r} . Varje punkt P {\ displaystyle P} har polära koordinater i formen (r, θ) {\ displaystyle (r, \ theta)} . Börja med att rita en cirkel med radien r {\ displaystyle r} , centrerad på stolpen.

   • Polen är mittpunkten i diagrammet, där ursprunget är på det rektangulära koordinatplanet.
   • Om du till exempel vill rita punkten (5, π2) {\ displaystyle (5, {\ frac {\ pi} {2}})} , placera din kompass på stolpen. Förläng kompassens pennaände till fem enheter längs polaxeln. Vrid kompassen för att rita en cirkel.
2. 2
   Mät en vinkel på θ {\ displaystyle \ theta} från polaraxeln. Placera en gradskiva så att mitten är på polen och kanten går längs polaxeln. Mät vinkeln θ {\ displaystyle \ theta} från denna axel. Om vinkeln är i radianer och din gradskiva bara visar grader kan du konvertera enheterna eller hänvisa till enhetscirkeln för hjälp.

   • För punkten (5, π2) {\ displaystyle (5, {\ frac {\ pi} {2}})} berättar enhetscirkeln att π2 {\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}} är 0,25 av vägen runt cirkeln, motsvarande 90° från polaraxeln.
   • Mät alltid positiva vinklar moturs från axeln. Mät negativa vinklar medurs från axeln.
3. 3
   Rita en linje baserad på tecknet på r {\ displaystyle r} . Nästa steg blir att rita en linje längs den vinkel du mätt. Innan du kan göra detta måste du dock veta vilken väg du ska dra linjen. Se tillbaka till polära koordinater (r, θ) {\ displaystyle (r, \ theta)} för att ta reda på:

   • Om r {\ displaystyle r} är positivt drar du linjen "framåt" från stången rakt genom den vinkelmarkering som du just gjorde.
   • Om r {\ displaystyle r} är negativ, drar du linjen "bakåt": från vinkelmarkeringen tillbaka genom polen för att korsa cirkeln på motsatt sida.
   • Förväxla dig inte av rektangulära koordinater: detta motsvarar inte positiva eller negativa värden på en x - eller y - axel.
4. 4
   Märk punkten där linjen och cirkeln möts. Detta är punkten (r, θ) {\ displaystyle (r, \ theta)} .

   • Poängen (5, π2) {\ displaystyle (5, {\ frac {\ pi} {2}})} ligger på en cirkel med radien 5 centrerad på polen, 0,25 av vägen längs cirkelns omkrets i moturs från polaraxeln. (Denna punkt motsvarar (0, 5) i rektangulära koordinater.)

Första exemplet

Plotta punkten P på (4, −π3) {\ displaystyle (4, {\ frac {- \ pi} {3}})} på polplanet

1. 1
   Konstruera en cirkel med radien r = 4 {\ displaystyle r = 4} . Använd stången som centrum.
2. 2
   Mät vinkeln −π3 {\ displaystyle {\ frac {- \ pi} {3}}} radianer. Mät denna vinkel från den polära axeln (motsvarar den positiva x-axeln). Eftersom vinkeln −π3 {\ displaystyle {\ frac {- \ pi} {3}}} är negativ, mät denna vinkel medurs.
3. 3
   Rita en linje i denna vinkel. Börja vid polen (ursprung). Eftersom radien är positiv, gå framåt från polen genom den uppmätta vinkeln. Poängen där linjen skär cirkeln är (4, −π3) {\ displaystyle (4, {\ frac {- \ pi} {3}})} .

Andra exemplet

Plotta punkten Q som ligger vid (−23π2) {\ displaystyle (-2, {\ frac {3 \ pi} {2}})} på polplanet.

1. 1
   Konstruera en cirkel med radien r = 2 {\ displaystyle r = 2} . Använd stången som centrum. Även om radien faktiskt är -2 är inte tecknet viktigt för detta steg.
2. 2
   Mät vinkeln 3π2 {\ displaystyle {\ frac {3 \ pi} {2}}} radianer. Eftersom vinkeln 3π2 {\ displaystyle {\ frac {3 \ pi} {2}}} är positiv måste du gå moturs från polaraxeln.
3. 3
   Konstruera en linje mittemot den vinkeln. Eftersom radien −2 {\ displaystyle -2} är negativ, måste du gå från polen i motsatt riktning av den givna vinkeln. Den punkt där linjen skär cirkeln är (−23π2) {\ displaystyle (-2, {\ frac {3 \ pi} {2}})} .

1. 1
   Tänk på punkten p (21) {\ displaystyle p (21)} i det kartesiska planet. Börja vid ursprunget, rita ett linjesegment 2 enheter längs den positiva x- axeln. Rita ett andra linjesegment från den punkt 1-enheten i positiv y- riktning. Du är nu vid punkt (2, 1), så märk den här punkten P.
2. 2
   Hitta avståndet mellan ursprunget o {\ displaystyle o} och p {\ displaystyle p} . Rita en linje mellan O och P. Denna linje har längden r {\ displaystyle r} i polära koordinater. Det är också hypotenusen i en rätt triangel, så du kan hitta hypotenusens längd med hjälp av geometri. Till exempel:

   • Benen på den här högra triangeln har värdena 2 och 1.
   • Beräkna att hypotenusens längd är 22 + 12 = 4 + 1 = 5≈2 236 {\ displaystyle {\ sqrt {2 ^ {2} + 1 ^ {2}}} = {\ sqrt {4 + 1 med Pythagoras teorem. }} = {\ sqrt {5}} \ cirka 2 236}.
   • Den allmänna formeln för att hitta r {\ displaystyle r} från kartesiska koordinater är r = x2 + y2 {\ displaystyle r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}} , där x {\ displaystyle x } är den kartesiska x-koordinaten och y {\ displaystyle y} den kartesiska y-koordinaten.
3. 3
   Hitta vinkeln mellan op {\ displaystyle op} och den positiva x-axeln. Använd trigonometri för att hitta detta värde:

   • tan⁡ (θ) = oppositeadjacent = 12 {\ displaystyle \ tan (\ theta) = {\ frac {mittemot} {intilliggande}} = {\ frac {1} {2}}}
     tan − 1⁡ (12) = θ = 26,56∘ {\ displaystyle \ tan ^ {- 1} ({\ frac {1} {2}}) = \ theta = 26,56 ^ {\ circ}}
   • Den allmänna formeln för att hitta θ {\ displaystyle \ theta} är θ = tan − 1⁡ (yx) {\ displaystyle \ theta = \ tan ^ {- 1} ({\ frac {y} {x}})} , där y {\ displaystyle y} är den kartesiska y-koordinaten och x {\ displaystyle x} den kartesiska x-koordinaten.
4. 4
   Skriv ner polära koordinater. Du har nu värdena r {\ displaystyle r} och θ {\ displaystyle \ theta} . De rektangulära koordinaterna (2, 1) omvandlas till ungefärliga polära koordinater på (2,24, 26,6°) eller exakta koordinater för (5, tan − 1⁡ (12)) {\ displaystyle ({\ sqrt {5} }, \ tan ^ {- 1} ({\ frac {1} {2}}))} .