Hur beräknar man skillnaden mellan två perfekta rutor?

Skillnaden i kvadratmetoden är ett enkelt sätt att faktorera ett polynom som involverar subtraktion av två perfekta kvadrater.

Skillnaden av kvadratmetoden är ett lätt sätt att faktor ett polynom som involverar den subtraktion av två perfekta kvadrater. Med formeln $A ^ {{2}} - b ^ {{2}} = (ab) (a + b)$ behöver du helt enkelt hitta kvadratroten av varje perfekt kvadrat i polynomet, och ersätt dessa värden till formeln. Skillnaden i kvadratmetoden är ett grundläggande verktyg i algebra som du sannolikt kommer att använda ofta när du löser ekvationer.

Del 1 av 3: utvärdering av polynom

1
Identifiera koefficienten, variabeln och graden för varje term. En koefficient är talet framför en variabel, som multipliceras med variabeln. Variabeln är det okända värdet, vanligtvis betecknat med x {\ displaystyle x} $X$ eller y {\ displaystyle y} $Y$ .. Graden avser variabelns exponent. Till exempel har en andra grads term ett värde till den andra effekten ( x2 {\ displaystyle x ^ {2}} $X ^ {{2}}$ ) och en fjärde grads term har ett värde till den fjärde effekten ( x4 {\ displaystyle x ^ {4} } $X ^ {{4}}$ ).
- Till exempel, i polynom $36x ^ {{4}} - 100x ^ {{2}}$ är koefficienterna $36$ och $100$ , variabeln är $X$ , och den första termen ( $36x ^ {{4}}$ ) är en fjärde grads term, och den andra termen ( $100x ^ {{2}}$ ) är en andra grads term.
2
Leta efter den största gemensamma faktorn. En största gemensamma faktor är den högsta faktorn som delar sig jämnt i två eller flera termer. Om det finns en faktor som är gemensam för båda termerna i polynomet, ta bort detta.
- Till exempel har de två termerna i polynom $36x ^ {{4}} - 100x ^ {{2}}$ en största gemensamma faktor på $4x ^ {{2}}$ . För att utreda detta blir problemet $4x ^ {{2}} (9x ^ {{2}} - 25)$ .
Termerna och är de perfekta rutorna i ditt polynom, och och är rötterna till de perfekta rutorna.
3
Bestäm om termerna är perfekta rutor. Om du räknade ut den största gemensamma faktorn tittar du bara på termerna som finns kvar inom parentes. En perfekt kvadrat är resultatet av att multiplicera ett heltal med sig själv. En variabel är ett perfekt kvadrat om dess exponent är ett jämnt tal. Du kan bara faktorera med skillnaden i kvadrater om varje term i polynomet är ett perfekt kvadrat.
- Till exempel är $9x ^ {{2}}$ en perfekt fyrkant, eftersom $(3x) (3x) = 9x ^ {{2}}$ . Siffran $25$ är också en perfekt fyrkant, eftersom $(5) (5) = 25$ . Således kan du faktor $9x ^ {{2}} - 25$ hjälp av skillnaden i kvadratformel.
4
Se till att du hittar skillnaden. Du vet att du hittar skillnaden om du har ett polynom som subtraherar en term från en annan. Skillnaden i kvadrater gäller bara för dessa polynomer, och inte de där tillägg används.
- Du kan till exempel inte faktor $9x ^ {{2}} + 25$ hjälp av skillnaden i kvadratformel, för i detta polynom hittar du en summa, inte en skillnad.

Del 2 av 3: med formeln

1

Ställ in formeln för skillnaden i rutor. Formeln är $A ^ {{2}} - b ^ {{2}} = (ab) (a + b)$ . Termerna $A ^ {{2}}$ och $B ^ {{2}}$ är de perfekta rutorna i ditt polynom, och $A$ och $B$ är rötterna till perfekta rutor.

Till exempel kan du inte faktorera med att använda skillnaden i kvadratformel, för i detta polynom hittar du en summa, inte en skillnad.
2
Anslut den första termen till formeln. Detta är värdet för en {\ displaystyle a} $A$ . För att hitta detta värde, ta kvadratroten av den första perfekta kvadraten i polynomet. Kom ihåg att en kvadratrot av ett tal är en faktor som du multiplicerar för att få det numret.
- Till exempel, eftersom $(3x) (3x) = 9x ^ {{2}}$ , den kvadratroten av $9x ^ {{2}}$ är $3x$ . Så du bör ersätta detta värde med $A$ i skillnaden mellan kvadraterna: $9x ^ {{2}} - 25 = (3x-b) (3x + b)$ .
3
Anslut den andra termen till formeln. Detta är värdet för b {\ displaystyle b} $B$ , som är kvadratroten av den andra termen i polynomet.
- Till exempel, eftersom $(5) (5) = 25$ , kvadratroten ur $25$ är $5$ . Så du bör ersätta detta värde med $B$ i skillnaden mellan kvadraterna: $9x ^ {{2}} - 25 = (3x-5) (3x + 5)$ .
4
Kontrollera ditt arbete. Använd FOIL-metoden för att multiplicera de två faktorerna. Om ditt resultat är ditt ursprungliga polynom vet du att du har beaktat rätt.
- Till exempel:
  $(3x-5) (3x + 5)$
  $= 9x ^ {{2}} + 15x-15x-25$
  $= 9x ^ {{2}} - 25$ .

En variabel är en perfekt kvadrat om dess exponent är ett jämnt tal. Du kan bara faktorera med skillnaden i kvadrater om varje term i polynom är en perfekt kvadrat.

Del 3 av 3: lösa träningsproblem

1
Faktorera detta polynom. Använd skillnaden mellan två rutor: 36x4−9 {\ displaystyle 36x ^ {4} -9} $36x ^ {{4}} - 9$ .
- Termerna har ingen största gemensamma faktor, så det finns inget behov av att ta hänsyn till något ur polynomet.
- Termen $36x ^ {{4}}$ är en perfekt fyrkant, eftersom $(6x ^ {{2}}) (6x ^ {{2}}) = 36x ^ {{4}}$ .
- Termen $9$ är en perfekt fyrkant, eftersom $(3) (3) = 9$ .
- Skillnaden i kvadratformel är $A ^ {{2}} - b ^ {{2}} = (ab) (a + b)$ . Således är $36x ^ {{4}} - 9 = (ab) (a + b)$ , där $A$ och $B$ är kvadratrötterna till de perfekta rutorna.
- Kvadratroten av $36x ^ {{4}}$ är $6x ^ {{2}}$ . Anslut för $A$ du har $36x ^ {{4}} - 9 = (6x ^ {{2}} - b) (6x ^ {{2}} + b)$ .
- Kvadratroten av $9$ är $3$ . Så koppla in för $B$ , du har $36x ^ {{4}} - 9 = (6x ^ {{2}} - 3) (6x ^ {{2}} + 3)$ .
2
Försök att ta hänsyn till detta polynom. Se till att du räknar ut en största gemensamma faktor och använder skillnaden mellan två rutor: 48x3−27x {\ displaystyle 48x ^ {3} -27x} $48x ^ {{3}} - 27x$ .
- Hitta den största gemensamma faktorn för varje term. Denna term är $3x$ , så ta detta ut ur polynomet: $3x (16x ^ {{2}} - 9)$ .
- Termen $16x ^ {{2}}$ är en perfekt fyrkant, eftersom $(4x) (4x) = 16x ^ {{2}}$ .
- Termen $9$ är en perfekt fyrkant, eftersom $(3) (3) = 9$ .
- Skillnaden i kvadratformel är $A ^ {{2}} - b ^ {{2}} = (ab) (a + b)$ . Således är $48x ^ {{3}} - 27x = 3x (ab) (a + b)$ , där $A$ och $B$ är kvadratrötterna till de perfekta rutorna.
- Kvadratroten på $16x ^ {{2}}$ är $4x$ . Genom att ansluta till $A$ du $48x ^ {{3}} - 27x = 3x (4x-b) (4x + b)$ .
- Kvadratroten av $9$ är $3$ . Så plugga in för $B$ , du har $48x ^ {{3}} - 27x = 3x (4x-3) (4x + 3)$ .
3
Faktorera följande polynom. Den har två variabler, men den följer fortfarande reglerna för skillnaden i kvadratmetoden: 4x2−81y2 {\ displaystyle 4x ^ {2} -81y ^ {2}} $4x ^ {{2}} - 81 år ^ {{2}}$ .
- Ingen faktor är gemensam för varje term i detta polynom, så det finns inget att ta hänsyn till innan du börjar ta hänsyn till skillnaden i kvadrater.
- Termen $4x ^ {{2}}$ är en perfekt fyrkant, eftersom $(2x) (2x) = 4x ^ {{2}}$ .
- Termen $81 år ^ {{2}}$ är en perfekt fyrkant, eftersom $(9 år) (9 år) = 81 år ^ {{2}}$ .
- Skillnaden i kvadratformel är $A ^ {{2}} - b ^ {{2}} = (ab) (a + b)$ . Således är $4x ^ {{2}} - 81y ^ {{2}} = (ab) (a + b)$ , där $A$ och $B$ är kvadratrötterna till de perfekta rutorna.
- Den kvadratroten av $4x ^ {{2}}$ är $2x$ . Anslut för $A$ du $4x ^ {{2}} - 81y ^ {{2}} = (2x-b) (2x + b)$ .
- Kvadratroten till $81 år ^ {{2}}$ är $9y$ . Så plugga in för $B$ , du har $4x ^ {{2}} - 81y ^ {{2}} = (2x-9y) (2x + 9y)$ .