Hur delar man matriser?

Om du vet hur man multiplicerar två matriser tillsammans är du på god väg att "dela" en matris med en annan. Det ordet är i citat eftersom matriser tekniskt inte kan delas. Istället multiplicerar vi en matris med den inversa av en annan matris. Dessa beräkningar används ofta för att lösa system med linjära ekvationer.

Del 1 av 3: bekräftar att "uppdelning" är möjlig

1
Förstå matrisens "uppdelning. " Tekniskt finns det inget sådant som matrisuppdelning. Att dela en matris med en annan matris är en odefinierad funktion. Den närmaste ekvivalenten multipliceras med inversen av en annan matris. Med andra ord, medan [A] ÷ [B] är odefinierad kan du lösa problemet [A] * [B] ^-1. Eftersom dessa två ekvationer skulle vara ekvivalenta för skalära mängder, "känns" detta som matrisdelning, men det är viktigt att använda rätt terminologi.
- Observera att [A] * [B] ^-1 och [B] ^-1 * [A] inte är samma problem. Du kan behöva lösa båda för att hitta alla möjliga lösningar.
- Till exempel, istället för ${\ begin {pmatrix} 13and26 \\ 39and13 \ end {pmatrix}} \ div {\ begin {pmatrix} 7and4 \\ 2and3 \ end {pmatrix}}$ , skriv ${\ begin {pmatrix} 13and26 \\ 39and13 \ end {pmatrix}} * {\ begin {pmatrix} 7and4 \\ 2and3 \ end {pmatrix}} ^ {{- 1}}$ .
  Du kan också behöva beräkna ${\ begin {pmatrix} 7and4 \\ 2and3 \ end {pmatrix}} ^ {{- 1}} * {\ begin {pmatrix} 13and26 \\ 39and13 \ end {pmatrix}}$ , som kan ha ett annat svar.
2
Bekräfta att "divisormatrisen" är kvadratisk. För att ta det inversa av en matris måste det vara en kvadratisk matris med samma antal rader och kolumner. Om matrisen du planerar att vända är inte kvadratisk finns det ingen unik lösning på problemet.
- Uttrycket "delarmatris" är lite löst, eftersom detta tekniskt inte är ett uppdelningsproblem. För [A] * [B] ^-1 avser detta matris [B]. I vårt exempelproblem är detta ${\ begin {pmatrix} 7and4 \\ 2and3 \ end {pmatrix}}$ .
- En matris som har en invers kallas "inverterbar" eller "icke-singular." Matriser utan en invers är "singular".
3
Kontrollera att de två matriserna kan multipliceras tillsammans. För att multiplicera två matriser tillsammans måste antalet kolumner i den första matrisen vara lika med antalet rader i den andra matrisen. Om detta inte fungerar i något av dessa arrangemang ([A] * [B] ^-1 eller [B] ^-1 * [A]) finns det ingen lösning på problemet.
- Till exempel, om [A] är en matris på 4 x 3 (4 rader, 3 kolumner) och [B] är en matris på 2 x 2 (2 rader, 2 kolumner), finns det ingen lösning. [A] * [B] ^-1 fungerar inte sedan 3 ≠ 2, och [B] ^-1 * [A] fungerar inte sedan 2 ≠ 4.
- Observera att den inversa [B] ^-1 alltid har samma antal rader och kolumner som den ursprungliga matrisen [B]. Det finns inget behov av att beräkna det inversa för att slutföra detta steg.
- I vårt exempelproblem är båda matriserna 2 x 2, så de kan multipliceras i endera ordningen.
4
Hitta determinanten för en 2 x 2 matris. Det finns ytterligare ett krav att kontrollera innan du kan ta inversen av en matris. Determinanten för matrisen måste vara noll. Om determinanten är noll har matrisen inte en invers. Så här hittar du determinanten i det enklaste fallet, matrisen 2 x 2:
- 2 x 2 matris: Determinanten för matrisen ${\ begin {pmatrix} aandb \\ candd \ end {pmatrix}}$ är ad - bc. Ta med andra ord produkten av huvuddiagonalen (uppe till vänster till nedre högra sidan) och subtrahera sedan produkten från antidiagonalen (uppe till höger till nedre vänster).
- Matrisen ${\ begin {pmatrix} 7and4 \\ 2and3 \ end {pmatrix}}$ har till exempel determinanten (7) (3) - (4) (2) = 21 - 8 = 13 Detta är icke-noll, så det är möjligt att hitta det omvända.
Hur delar jag en matris med ett skalärt tal?
5
Hitta determinanten för en större matris. Om din matris är 3 x 3 eller större tar det mer arbete att hitta determinanten:
- 3 x 3 matris: Välj vilket element som helst och korsa raden och kolumnen som den tillhör. Hitta determinanten för den återstående 2 x 2 matrisen, multiplicera med det valda elementet, och hänvisa till ett matristsignaldiagram för att bestämma tecknet. Upprepa detta för de andra två elementen i samma rad eller kolumn som det första du valde, summera sedan alla tre determinanter. Läs den här artikeln för steg-för-steg-instruktioner och tips för att påskynda detta.
- Större matriser: Det rekommenderas att använda en grafkalkylator eller programvara. Metoden liknar matrismetoden 3 x 3, men är tråkig för hand. För att till exempel hitta determinanten för en 4 x 4-matris måste du hitta determinanterna för fyra 3 x 3-matriser.
6

Fortsätt. Om din matris inte är kvadratisk eller om dess determinant är noll, skriv "ingen unik lösning." Problemet är klart. Om matrisen är kvadratisk och dess determinant är noll, fortsätt till nästa avsnitt för nästa steg: hitta det inversa.

Del 2 av 3: invertera matrisen

1
Byt elementens positioner på huvud 2 x 2 diagonalen. Om din matris är 2 x 2 kan du använda en genväg för att göra denna beräkning mycket enklare. Det första steget i denna genväg innebär att du byter det övre vänstra elementet med det nedre högra elementet. Till exempel:
- ${\ begin {pmatrix} 7and4 \\ 2and3 \ end {pmatrix}}$ → ${\ begin {pmatrix} 3and4 \\ 2and7 \ end {pmatrix}}$
- Obs! De flesta använder miniräknare för att hitta det inversa av en matris på 3 x 3 eller större. Om du vill beräkna det för hand, se slutet på detta avsnitt.
2
Ta motsatsen till de andra två elementen, men lämna dem på plats. Multiplicera med andra ord de övre högra och nedre vänstra elementen med -1:
- ${\ begin {pmatrix} 3and4 \\ 2and7 \ end {pmatrix}}$ → ${\ begin {pmatrix} 3and-4 \\ - 2and7 \ end {pmatrix}}$
3
Ta det ömsesidiga av determinanten. Du hittade determinanten för denna matris i avsnittet ovan, så det finns ingen anledning att beräkna den en andra gång. Skriv bara ner ömsesidigt 1 / (determinant):
- I vårt exempel är determinanten 13. Det ömsesidiga av detta är ${\ frac {1} {13}}$ .
4
Multiplicera den nya matrisen med det ömsesidiga av determinanten. Multiplicera varje element i den nya matrisen med det ömsesidiga du just hittat. Den resulterande matrisen är den inversa av 2 x 2-matrisen:
- $113 ∗ (3−4−27) {\ displaystyle {\ frac {1} {13}} * {\ begin {pmatrix} 3 & -4 \\ - 2 & 7 \ end {pmatrix}}}$
  = ${\ begin {pmatrix} {\ frac {3} {13}} och {\ frac {-4} {13}} \\ {\ frac {-2} {13}} och {\ frac {7} {13 }} \ end {pmatrix}}$
I vårt exempelproblem är båda matriserna 2 x 2, så de kan multipliceras i endera ordningen.
5
Bekräfta att det omvända är korrekt. För att kontrollera ditt arbete, multiplicera det inversa med den ursprungliga matrisen. Om det inversa är korrekt kommer deras produkt alltid att vara identitetsmatrisen, (1001) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}} ${\ begin {pmatrix} 1and0 \\ 0and1 \ end {pmatrix}}$ Om matematiken checkar ut, fortsätt till nästa avsnitt för att slutföra ditt problem.
- För ${\ begin {pmatrix} {\ frac {3} {13}} och {\ frac {-4} {13}} \\ {\ frac {-2} {13}} och {\ frac {7} {13 }} \ end {pmatrix}} * {\ begin {pmatrix} 7and4 \\ 2and3 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1and0 \\ 0and1 \ end {pmatrix}}$ , multiplicera $(313−413−213713) ∗ (7423) = (1001) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ frac {3} {13}} & {\ frac {-4} {13 }} \\ {\ frac {-2} {13}} & {\ frac {7} {13}} \ end {pmatrix}} * {\ begin {pmatrix} 7 & 4 \\ 2 & 3 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}}$ .
- Här är en uppdatering om hur man multiplicerar matriser.
- Obs! Matrixmultiplikation är inte kommutativ: faktorernas ordning betyder. Men när en matris multipliceras med dess inversa kommer båda alternativen att resultera i identitetsmatrisen.
6
Granska matrisinversion för 3 x 3 matriser eller större. Om du inte lär dig den här processen för första gången kan du spara tid genom att använda en grafkalkylator eller matteprogramvara för större matriser. Om du behöver räkna ut det för hand, här är en snabb sammanfattning av en metod:
- Anslut identitetsmatrisen I till höger om din matris. Till exempel [B] → [B | I]. Identitetsmatrisen har "1" -element längs huvuddiagonalen och "0" -element i alla andra positioner.
- Utför radåtgärder för att minska matrisen tills vänster sida är i rad-echelonform och fortsätt sedan minska tills vänster sida är identitetsmatrisen.
- När operationen är klar kommer din matris att vara i formen [I | B ^-1]. Med andra ord kommer den högra sidan att vara den inversa av den ursprungliga matrisen.

Del 3 av 3: multiplicera matriser för att slutföra problemet

1
Skriv båda möjliga ekvationerna. I "vanlig matematik" med skalära kvantiteter är multiplikation kommutativ; 2 x 6 = 6 x 2. Detta gäller inte för matriser, så du kan behöva lösa två problem:
- [A] * [B] ^-1 är lösningen x för problemet x [B] = [A].
- [B] ^-1 * [A] är lösningen x för problemet [B] x = [A].
- Om detta är en del av en ekvation, se till att du utför samma operation på båda sidor. Om [A] = [C] är [B] ^-1 [A] inte lika med [C] [B] ^-1, eftersom [B] ^-1 är på vänster sida av [A] men på höger sida av [C].
2
Hitta dimensionerna på ditt svar. Dimensionerna för den slutliga matrisen är de yttre dimensionerna för de två faktorerna. Den har samma antal rader som den första matrisen och samma antal kolumner som den andra matrisen.
- Återgår till vårt ursprungliga exempel, både ${\ begin {pmatrix} 13and26 \\ 39and13 \ end {pmatrix}}$ och ${\ begin {pmatrix} {\ frac {3} {13}} och {\ frac {-4} {13}} \\ {\ frac {-2} {13}} och {\ frac {7} {13 }} \ end {pmatrix}}$ är 2 x 2 matriser så att måtten på svaret också är 2 x 2.
- För att ta ett mer komplicerat exempel, om [A] är en 4 x 3-matris och [B] ^-1 är en 3 x 3- matris, så har matrisen [A] * [B] ^-1 dimensionerna 4 x 3.
3
Hitta värdet på det första elementet. Se den länkade artikeln för fullständiga instruktioner, eller uppdatera ditt minne med den här sammanfattningen:
- För att hitta rad 1, kolumn 1 i [A] [B] ^-1, hitta punktprodukten för [A] rad 1 och [B] ^-1 kolumn 1. Det vill säga, beräkna $A _ {{11}} * b _ {{11}} + a _ {{12}} * b _ {{21}}$ för en matris på 2 x 2 $+ a12 ∗ b21 {\ displaystyle a_ {11} * b_ {11} + a_ {12} * b_ {21}}$ .
- I vårt exempel ${\ begin {pmatrix} 13and26 \\ 39and13 \ end {pmatrix}} * {\ begin {pmatrix} {\ frac {3} {13}} och {\ frac {-4} {13}} \\ {\ frac {-2} {13}} och {\ frac {7} {13}} \ end {pmatrix}}$ , rad 1 kolumn 1 i vår svaret är:
  $(13 * {\ frac {3} {13}}) + (26 * {\ frac {-2} {13}})$
  $= 3 + -4$
  $= -1$
För att till exempel hitta determinanten för en 4 x 4-matris måste du hitta determinanterna för fyra 3 x 3-matriser.
4
Upprepa punktproduktprocessen för varje position i din matris. Till exempel är elementet vid position 21 punktprodukten i [A] rad 2 och [B] ^-1 kolumn 1. Försök att slutföra exemplet själv. Du bör få följande svar:
- ${\ begin {pmatrix} 13and26 \\ 39and13 \ end {pmatrix}} * {\ begin {pmatrix} {\ frac {3} {13}} och {\ frac {-4} {13}} \\ {\ frac {-2} {13}} och {\ frac {7} {13}} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} -1and10 \\ 7and-5 \ end {pmatrix}}$
- Om du behöver hitta den andra lösningen, ${\ begin {pmatrix} {\ frac {3} {13}} och {\ frac {-4} {13}} \\ {\ frac {-2} {13}} och {\ frac {7} {13 }} \ end {pmatrix}} * {\ begin {pmatrix} 13and26 \\ 39and13 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} -9and2 \\ 19and3 \ end {pmatrix}}$

Tips

Du kan dela en matris med en skalär genom att dela varje element i matrisen med skalären.
- Till exempel matrisen ${\ begin {pmatrix} 6and8 \\ 2and4 \ end {pmatrix}}$ dividerad med 2 = ${\ begin {pmatrix} 3and4 \\ 1and2 \ end {pmatrix}}$

Varningar

Miniräknare är inte alltid 100% korrekta när det handlar om matrisberäkningar. Till exempel, om din miniräknare säger att ett element är ett mycket litet tal (till exempel 2E ^-8) är värdet troligen noll.

Läs också: Hur hanterar jag massor av läxor?

Hur delar man matriser?

Steg

Del 1 av 3: bekräftar att "uppdelning" är möjlig

Del 2 av 3: invertera matrisen

Del 3 av 3: multiplicera matriser för att slutföra problemet

Tips

Varningar

Frågor och svar

Kommentarer (2)

Läs också: