Hur härleds strålkastareffekten i speciell relativitet?
Denna effekt innebär att en rörlig ljuskälla har sina ljusstrålar koncentrerade mot rörelseriktningen, och därför observerar en observatör i källans referensram ett bredare synfält.
Strålkastareffekten är en av de mer icke-intuitiva konsekvenserna av Einsteins speciella relativitet. Denna effekt innebär att en rörlig ljuskälla har sina ljusstrålar koncentrerade mot rörelseriktningen, och därför observerar en observatör i källans referensram ett bredare synfält.
Den här artikeln kommer att fungera i 2 + 1 dimensioner för att göra beräkningarna enklare.
Del 1 av 2: härledning
- 1Definiera 4-momentum. 4-momentum P {\ displaystyle P} är den relativistiska analogen av linjär momentum i newtons mekanik, uppgraderad till att inkludera en ytterligare tidskomponent. Denna tidskomponent beskriver energi, så 4-momentum förenar linjär momentum och energi till ett enda matematiskt objekt. Nedan skriver vi 4-momentum som en radvektor för att spara utrymme, även om den ska ses som en kolumnvektor.
- P = (Ec, px, py) {\ displaystyle P = \ left ({\ frac {E} {c}}, p_ {x}, p_ {y} \ right)}
Lösning: använd formel för strålkastareffekt för att få de vinklar vi är intresserade av. - 2Tänk på en ljuskälla som sänder ut i alla riktningar. Fotonets 4 momentum från källans vilaram beror sedan på vinkeln relativt källans hastighet v, {\ displaystyle v,} som vi kommer att säga punkter i + x {\ displaystyle + x} -riktningen. Nedan antar vi att alla fotoner släpps ut med samma energi.
- P = (Ec, Eccosθ, Ecsinθ) {\ displaystyle P = \ left ({\ frac {E} {c}}, {\ frac {E} {c}} \ cos \ theta, {\ frac {E} {c}} \ sin \ theta \ höger)}
- Försök att inte låta c {\ displaystyle c} -konstanterna slänga dig - tänk på dem mindre som konstanter och mer som enhetsomvandlingsfaktorer.
- 3Lorentz boost till koordinatramen. Detta är ramen som rör sig i −x {\ displaystyle -x} -riktningen med avseende på källan. Resultatet av denna skyltning är att vi har positiva mängder utanför Lorentz-transformationen. Observera att vi betecknar primtal för koordinatramen, inte den rörliga bilden.
- (E′cE′ccosθ′E′csinθ ′) = (γγβ0γβγ0001) (EcEccosθEcsinθ) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ frac {E ^ {\ prime}} {c} } \\ {\ frac {E ^ {\ prime}} {c}} \ cos \ theta ^ {\ prime} \\ {\ frac {E ^ {\ prime}} {c}} \ sin \ theta ^ { \ prime} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ gamma & \ gamma \ beta & 0 \\\ gamma \ beta & \ gamma & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} { \ frac {E} {c}} \\ {\ frac {E} {c}} \ cos \ theta \\ {\ frac {E} {c}} \ sin \ theta \ end {pmatrix}}}
- Ovan, β = vc {\ displaystyle \ beta = {\ frac {v} {c}}} och γ = 11 − v2c2, {\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}},} Lorentz-faktorn.
En ljuskälla som rör sig vid avger fotoner i vinklar på - med andra ord rakt ovanför och under. - 4Lös energi i koordinatramen. Matrisekvationen ovan är ett system av linjära ekvationer. Den tredje är trivial och berättar inte för oss något nytt.
- E′c = γEc + γβEccosθE ′ = γE (1 + βcosθ) {\ displaystyle {\ börjar {justerad} {\ frac {E ^ {\ prime}} {c}} & = \ gamma {\ frac {E} {c}} + \ gamma \ beta {\ frac {E} {c}} \ cos \ theta \\ E ^ {\ prime} & = \ gamma E \ left (1+ \ beta \ cos \ theta \ höger) \ slut {justerad}}}
- 5Lös vinkeln i koordinatramen. Den Slutresultatet av härledningen är en vinkeltransformation som ser lite liknande den tillsats av hastigheterna formel.
- E′ccosθ ′ = γβEc + γEccosθγEc (1 + βcosθ) cosθ ′ = γEc (β + cosθ) cosθ ′ = β + cosθ1 + βcosθ {\ displaystyle { \ börja {justerad} {\ frac {E ^ {\ prime}} {c}} \ cos \ theta ^ {\ prime} & = \ gamma \ beta {\ frac {E} {c}} + \ gamma {\ frac {E} {c}} \ cos \ theta \\ {\ frac {\ gamma E} {c}} \ left (1+ \ beta \ cos \ theta \ right) \ cos \ theta ^ {\ prime } & = {\ frac {\ gamma E} {c}} \ left (\ beta + \ cos \ theta \ right) \\\ cos \ theta ^ {\ prime} & = {\ frac {\ beta + \ cos \ theta } {1+ \ beta \ cos \ theta}} \ slut {justerad}}}
- Detta är strålkastareffekten.
Strålkastareffekten är en av de mer icke-intuitiva konsekvenserna av Einsteins speciella relativitet. - 6Visualisera strålkastareffekten. På grund av dess icke-intuitiva har ett visuellt infogats ovan sett från koordinatens referensram.
- De vertikala linjerna är resultatet av vinkelomvandlingarna. Om vi antar en 180 graders syn kan vi se att en observatör som rör sig med en relativistisk hastighet också kan se något bakom henne.
- Färgen betecknar den relativistiska dopplereffekten. Vi kan se att observatörens syn framför henne har bluesförskjutits och bluesförskjutningsvyn blir mer koncentrerad nära mitten av hennes synfält. Vid tillräckligt snabba hastigheter kan hon se bluesförskjutet infrarött och till och med mikrovågs- och radiovågor som synligt ljus.
- Till höger är vyn över en tunnel från hennes referensram. När hon rör sig snabbare verkar det som om hon rör sig bakåt först, men så är inte fallet - hennes synfält blir faktiskt bredare. Hennes syn blir också gradvis blåskiftad framför sig och rödskiftad bakom sig, vilket motsvarar den smalande konen i den första animationen. Kom ihåg att i sin referensram rör sig hon inte, men allt annat är det.
- Också av notera är hur tunneln gradvis blir skev. Detta är en konsekvens av relativitetens relativitet. I Newtonian mekanik antas det att en observatör ser toppen och botten av en vägg samtidigt, så de vertikala linjerna är raka. Detta är inte fallet i särskild relativitet. På grund av den ändliga ljushastigheten når ljus nära mitten henne innan ljuset uppe och nere, så tunneln verkar konvexformad.
Del 2 av 2: exempel
- 1Tänk på problemet. En ljuskälla som rör sig vid β = 35 {\ displaystyle \ beta = {\ frac {3} {5}}} avger fotoner i vinklarna θ = ± π2 {\ displaystyle \ theta = \ pm {\ frac {\ pi} { 2}}} - med andra ord, rakt ovanför och under. Vilka är vinklarna i förhållande till hastighetsriktningen i koordinatramen?
- Lösning: använd strålkastareffektformeln för att få de vinklar vi är intresserade av. Observera att vinklarna kommer att förvandlas på samma sätt i båda riktningarna.
- cosθ ′ = β + cosθ1 + βcosθcosθ ′ = 35 + cosπ21 + 35cosπ2cosθ ′ = 35θ′≈ ± 53,13∘ {\ displaystyle {\ börjar {justerad} \ cos \ theta ^ {\ prime} & = {\ frac {\ beta + \ cos \ theta} {1+ \ beta \ cos \ theta}} \\\ cos \ theta ^ {\ prime} & = {\ frac {{ \ frac {3} {5}} + \ cos {\ frac {\ pi} {2}}} {1 + {\ frac {3} {5}} \ cos {\ frac {\ pi} {2}} }} \\\ cos \ theta ^ {\ prime} & = {\ frac {3} {5}} \\\ theta ^ {\ prime} & \ approx \ pm 53,13 ^ {\ circ} \ end { Justerat}}}
- Lösning: använd strålkastareffektformeln för att få de vinklar vi är intresserade av. Observera att vinklarna kommer att förvandlas på samma sätt i båda riktningarna.
